Explicación intuitiva de la exponenciación y otros operadores

Question

Entiendo que el operador de adición, definido como $F(x,y)=x+y$ y el operador de multiplicación, definido como $F(x,y)=xy$ son conmutativos y asociativos (lo que significa, por supuesto, que $F(y,x)=F(x,y)$ y que $F(F(x,y),z)=F(x,F(y,z))=F(F(x,z),y)$ ). Mi pregunta es: ¿Por qué la exponenciación, la tetración, la pentación, etc. no son generalmente conmutativas o asociativas? Entiendo que la exponenciación simplemente funciona así, pero mi pregunta es: ¿hay una explicación intuitiva y su demostración matemática?

Saludos y gracias de antemano.

Espero haber explicado todo como pretendía. Si he metido la pata en algo, no dudes en editar o redirigirme a otro post.

Answer 1

Para dar una idea:

En los números enteros podríamos definir ingenuamente: $x\cdot 1$ como $\underbrace{1+\cdots+1}_{x\text{ times}}$ .

La multiplicación sería entonces : $x\times y = \underbrace{x+\cdots+x}_{y\text{ times}} \\= (1+\cdots+1)+\cdots+(1+\cdots+1) \\= \underbrace{y+\cdots+y}_{x\text{ times}} \\ = y\times x$

Sin embargo, la exponenciación es $x^y = \underbrace{x\times\cdots\times x}_{y\text{ times}} \\ = (1+\cdots+1)\times\cdots\times(1+\cdots+1) \\ \underbrace{\neq\qquad}_{\text{generally}} y^x$

Ej: $2^3 = (1+1)(1+1)(1+1) = (1+3+3+1) = 3\times 3-1 = 3^2-1$

...

Por supuesto, en los racionales, los reales, etc. , tenemos que ampliar la definición de los operadores más allá de este enfoque ingenuo (de ahí su trabajo en las operaciones).   Pero si la propiedad no se mantiene para las operaciones sobre los enteros, entonces no se mantendrá sobre las extensiones.   ( $~8.0\neq 9.0~$ )