propagación del error del producto de la serie de Taylor

Question

Digamos que tengo dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ y que voy a aproximar con series de Taylor $T_f(x)$ y $T_g(x)$ respectivamente. Digamos que $f(x)$ es el orden $O(x^{n_1})$ y $T_f(x)$ tiene error de orden $O(x^{m_1})$ . Asimismo, $g(x)$ es el orden $O(x^{n_2})$ y $T_g(x)$ tiene error de orden $O(x^{m_2})$ .

Teniendo en cuenta esto, ¿cuál es el orden del error para $T_f(x)T_g(x)$ ?

Lo que he pensado hasta ahora es que $f(x)g(x) = (T_f(x)+E_f(x))(T_g(x)+E_g(x))= T_f(x)T_g(x) + E_f(x)T_g(x) + E_g(x)T_f(x) + E_f(x)E_g(x)$

y si los pedidos se multiplican entonces $E_{total}=\max\{x^{n_2+m_1},x^{n_1+m_2},x^{m_2+m_1}\}$

Pero parece que el error bajaría, no subiría como debería.

Answer 1

Al multiplicar dos series truncadas se obtiene una aproximación de la función producto que es tan buena como la más baja: $$ \eqalign{ & \left( {a_{\,0} + a_{\,1} x + a_{\,2} x^{\,2} + \ldots + O\left( {x^{\,m} } \right)} \right)\left( {b_{\,0} + b_{\,1} x + b_{\,2} x^{\,2} + \ldots + O\left( {x^{\,n} } \right)} \right) = \cr & = c_{\,0} + c_{\,1} x + c_{\,2} x^{\,2} + \ldots + b_{\,0} O\left( {x^{\,m} } \right) + \ldots + a_{\,0} O\left( {x^{\,n} } \right) = \cr & = c_{\,0} + c_{\,1} x + c_{\,2} x^{\,2} + \ldots + O\left( {x^{\,\min \,(m,\,n)} } \right) \cr} $$