¿Existe un grupo no generado finitamente cada uno de cuyos subgrupos propios esté generado finitamente? Si es así, ¿qué forma de elección (si es que hay alguna) se requiere para construir tal grupo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
(CW ya que esto es sólo ampliar el comentario de George Lowther a la pregunta, que en realidad podría haber sido una respuesta en primer lugar; si George L quiere convertir su respuesta en un comentario él mismo, puedo borrar este).
Para cualquier primo $p$ El Prüfer $p$ -grupo es el deseado.
Hay varias construcciones de esto; una buena para los propósitos actuales es $$\mathbb{Z}[1/p]\ /\ \mathbb{Z}$$ es decir, racionales con denominador una potencia de $p$ , módulo de los números enteros.
Para ver que esto funciona, observe que es la unión de la cadena linealmente ordenada de subgrupos finitamente generados (de hecho, cíclicos) $H_i := \{ [a / p^i]\ |\ 0 \leq a < p^i \}$ , sobre $i \in \mathbb{N}$ .
Ahora cualquier elemento de $H_{i+1}$ no en $H_{i}$ debe ser de la forma $[a/p^{i+1}]$ con $a$ coprima a $p$ y, por lo tanto, genera la totalidad de $H_{i+1}$ . Por lo tanto, cualquier subgrupo es igual a algún $H_i$ o bien los contiene a todos y es el grupo completo.
Por otro lado, es evidente que el grupo entero no está generado finitamente, ya que cualquier conjunto finito de elementos está contenido en algún $H_i$ .
