Dejemos que $\Theta$ sea un espacio métrico, y sea $\{\mu_\theta\}_{\theta \in \Theta}$ sea una colección de medidas de probabilidad sobre el Borel $\sigma$ -Álgebra $\mathcal B(X)$ de algún espacio métrico $(X, \rho)$ . Además, supongamos que para cada $\theta_0 \in \Theta$ , $$\lim_{\theta \to \theta_0}\sup_{A \in \tau} |\mu_{\theta_0}(A) - \mu_\theta(A)| = 0$$ donde $\tau$ denota la colección de conjuntos abiertos en $X$ . ¿Se deduce que la variación total $$\lim_{\theta \to \theta_0}\sup_{A \in \mathcal B(X)} |\mu_{\theta_0}(A) - \mu_\theta(A)| = 0$$ ¿también converge a cero?
Algunas informaciones que creo que pueden ser útiles:
Creo que esta pregunta puede verse como una generalización de Si dos medidas de Borel coinciden en todos los conjuntos abiertos, ¿son iguales?
En lugar de coincidir, para cualquier $\theta$ en una vecindad suficientemente pequeña de $\theta_0$ tenemos que las medidas $\mu_\theta$ casi coinciden con $\mu_{\theta_0}$ en todos los conjuntos abiertos. Tenemos que demostrar que podemos encontrar una vecindad similar donde las medidas casi coinciden en todos los subconjuntos medibles.
En la pregunta anterior, se resolvió que si $X$ es una unión de una secuencia creciente de conjuntos abiertos en los que las dos medidas son finitas (que es nuestro caso), entonces la respuesta es "sí" debido al teorema de la clase monótona. No estoy familiarizado con este teorema, pero quizás una generalización de ese argumento funcione en este caso.
