longitud de arco de la hélice $(2\cos(t), 2\sin(t), 3t)$

Question

Hey tengo que calcular la longitud de arco de una hélice $f:[0,2n]\to R^3: t\mapsto(2\cos(t), 2\sin(t), 3t)$

Creo que tengo que calcular la longitud de arco como una integral sobre la norma del vector velocidad. Así que empecé así:

$$f'(t)=(-2\sin(t), 2\cos(t), 3)$$

$$||f'(t)||= \sqrt{(4\sin^2(t)}+4\cos^2(t)+9= \sqrt{(4+9)}= \sqrt{13}.$$

Dónde está mi error, o es correcto y la longitud del arco ya es $\sqrt{13}$ ??

Answer 1

En efecto, usted tiene $||f'(t)||=\sqrt{13}$ . Todavía hay que multiplicar esto por el tiempo total $2\pi n$ para obtener la longitud total del arco, que es entonces $2\pi n\sqrt{13}$ .

Si se dibuja la hélice a lo largo de un cilindro y luego el cilindro con la hélice en un plano, la componente paralela a la dirección de rodadura se convierte en una línea de longitud $2t$ y la componente perpendicular se convierte en una línea de longitud $3t$ . El movimiento combinado se representa entonces por la hipotenusa obtenida a partir de estas componentes perpendiculares teniendo así una longitud $\sqrt{13}t$ .