Esto es de PDE Evans, 2ª edición: Capítulo 9, Ejercicio 2:
Supongamos que $a: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es continua y $a(f_n) \rightharpoonup a(f)$ débilmente en $L^2(0,1)$ siempre que $f_n \rightharpoonup f$ débilmente en $L^2(0,1)$ . Mostrar $a$ es una función afín.
Mi "trabajo" hasta ahora:
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Wlog. se puede suponer que $a(0) = 0$ .
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Si $a(x) = \alpha x^2 + \beta x$ con $\alpha \neq 0$ , entonces tomando $f_n(x) = \sin(\pi n x)$ y $f(x) = 0$ conduce a una contradicción, es decir $a$ no es un polinomio de grado $2$ (alternativamente, elegir una secuencia ortonormal arbitraria en $L^2(0,1)$ ). Esto se debe a que si $a(f_n) \rightharpoonup a(f)$ entonces $$ \alpha \int_0^1 f_n^2 + \beta \int_0^1 f_n = \int_0^1 a(f_n) \cdot 1 \rightarrow \int_0^1 a(f) \cdot 1 = 0. $$ Desde $f_n \rightharpoonup 0$ uno tiene $\beta \int_0^1 f_n \cdot 1 \rightarrow 0$ , es decir, también $\alpha \int_0^1 f_n^2 \rightarrow 0$ , lo cual es una contradicción.
- ¿Se puede generalizar esto para todos los polinomios y luego utilizar la densidad de los polinomios en $C(\mathbb R)$ ?
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En lugar de intentar "crear" una contradicción, también se podría demostrar directamente que $a$ es lineal, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo.
¿Alguna pista sobre cómo resolver este problema?
