Número complejo - locus de un punto

Question

Pregunta:

Si el argumento de $\frac{z - z_1}{z-z_2}$ es $\pi\over4$ , encontrar el lugar de $z$ . $$z_1 = 2 + 3i$$ $$z_2 = 6 + 9i$$

Enfoque: He intentado resolver la ecuación mediante un diagrama, básicamente trazando los puntos en el plano de Argand. Lo que obtuve es un círculo con centro $7 + 4i$ y un radio de $\sqrt{26}$ unidades. Los dos números complejos dados se encuentran en este círculo y forman una cuerda. Cualquier punto situado en el arco mayor de esta cuerda cumple la condición.

¿Cómo podría representar esto exactamente como un lugar del punto? ¿Y hay algún otro método que pueda utilizar que no implique un diagrama?

Answer 1

El ángulo subtendido por la cuerda $z_1z_2$ en el centro es $2 \pi/4 = \pi/2$ por lo que el radio es $\frac{|z_1-z_2|}{\sqrt 2} = \sqrt{26}$ el centro de la cuerda es $4 + 3i$ se suma o se resta $\dfrac{-6+4i}{2}$ para que se obtengan dos centros. los dos centros, $z_1$ y $z_2$ forman un cuadrado de lado $\sqrt{ 26}.$

Answer 2

Poner $\;z=x+iy\;,\;\;x,y\in\Bbb R\;$ Así que

$$\frac{z-2-3i}{z-6-9i}=\frac{(x-2)+(y-3)i}{(x-6)+(y-9)i}\cdot\frac{(x-6)-(y-9)i}{(x-6)-(y-9)i}=$$

$$=\frac{(x-2)(x-6)+(y-3)(y-9)}{(x-6)^2+(y-9)^2}+\frac{(x-6)(y-3)-(x-2)(y-9)}{(x-6)^2+(y-9)^2}i$$

Por los datos dados, debe ser que las partes real e imaginaria son idénticas, y por tanto

$$(x-2)(x-6)+(y-3)(y-9)=(x-6)(y-3)-(x-2)(y-9)\iff$$

$$\iff x^2-14x+y^2-8y-26=0$$

Completa cuadrados, haz algún hokus pokus algebraico y consigue un círculo.