Dejemos que $\{f_n \}$ sea una secuencia de funciones en $[0,1]$ definido por $$f_n (x) = x^n(1-x),\ x \in [0,1].$$ En $f_n \to 0$ como $n \to \infty$ uniformemente en $[0,1]$ ?
¿Cómo proceder? Cualquier ayuda será muy apreciada.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
David Kraemer
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77
Tenemos
$$ f_n'(x) = -x^n + nx^{n-1}(1-x)=[n-(n+1)x]x^{n-1}. $$ Mediante una inspección, $f_n'(x) = 0$ cuando $x=\frac{n}{n+1}$ o $x=0$ . El valor $\frac{n}{n+1}$ es el máximo local con $$ f_n(\tfrac{n}{n+1})= (\tfrac{n}{n+1})^n(1-\tfrac{n}{n+1}) = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. $$ Desde $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0, $$ se deduce que $\sup_{x \in [0,1]} f_n(x) \to 0$ Así que $f_n \to 0$ de manera uniforme.
Rivers McForge
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43
Definir $M_n := \max_{0 \leq x \leq 1} f_n(x)$ .
Desde $0 \leq f_n(x) \leq M_n$ en $[0, 1]$ , $f_n(x) \rightarrow 0$ uniformemente en $[0, 1]$ si $M_n \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ .
Como función diferenciable, $f_n(x) = x^n - x^{n+1}$ debe alcanzar su máximo en $[0, 1]$ cuando $x = 0, 1$ (en un punto final) o cuando $$f'_n(x) = nx^{n-1} - (n+1)x^n = x^{n-1}(n - (n+1)x) = 0,$$ lo que significa $x = 0$ o $x = n/(n+1)$ . Evidentemente, si $x = 0, 1,$ $f_n(x) = 0$ Así que $$M_n = f_n(n/(n+1)) = \frac{n^n}{(n+1)^n}*\frac{1}{(n+1)} \approx \frac{1}{e}*\frac{1}{(n+1)} \rightarrow 0 \text{ as } n \rightarrow \infty.$$
Esto muestra $f_n(x) \rightarrow 0$ uniformemente en $[0, 1]$ .
