Dada una inmersión cerrada de esquemas integrales (y quizás normales) $i^*:Z\hookrightarrow X$ . ¿Es cierto que $i^*\mu_n$ es isomorfo a $\mu_n|_{Z}$ ? Aquí por pullback consideramos la gavilla de $n$ -raíz de la unidad como una gavilla en el sitio pequeño de etale. Por la restricción a $Z$ Me refiero a la gavilla de $n$ -raíz de la unidad naturalmente definida en $Z$ .
Respuesta
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Esto no es cierto en general. Permítanme dar un contraejemplo primero, y luego discutir dos casos en los que funciona.
Contraejemplo. Considere $X=\operatorname{Spec} \mathbb Z_p[\zeta_p]$ , donde $\zeta_p$ es un $p$ -raíz de la unidad, y que $Z=\operatorname{Spec}\mathbb F_p$ con $i\colon Z\hookrightarrow X$ siendo la inclusión del punto especial. Todo étale $\mathbb F_p$ -Las álgebras son productos finitos $\prod_i\mathbb F_{p^i}$ Por lo tanto, no contienen ninguna $p$ -raíz de la unidad. Así, el tallo de $\mu_{n,Z}$ en cualquier punto geométrico $\overline{z}$ de $Z$ es $\{1\}$ . Sin embargo, cualquier étale $\mathbb Z_p[\zeta_p]$ -Álgebra $B$ contiene el elemento $\zeta_p$ y $\zeta_p-1$ es un no-zero-divisor por planitud. Por lo tanto, también el tallo de $\mu_{n,X}$ en $i(\overline{z})$ contiene la raíz no trivial de la unidad $\zeta_p$ . Desde $(i^*\mu_{n,X})_{\overline{z}}=(\mu_{n,X})_{i(\overline{z})}$ (el pullback de las láminas étale preserva los tallos), esto demuestra que $i^*\mu_{n,X}$ no puede coincidir con $\mu_{n,Z}$ .
Y ahora los dos casos en los que funciona. Ninguno de los dos casos necesita que $i$ es una inmersión cerrada.
Caso 1. Supongamos que $n$ es invertible en $X$ y por lo tanto en $Z$ también (creo que ya has discutido ese caso en los comentarios ahora borrados, pero déjame explicarlo para completarlo). Entonces el mapa canónico $i^*\mu_{n,X}\rightarrow \mu_{n,Z}$ es siempre un isomorfismo, incluso para $i$ no una inmersión cerrada y $X$ , $Z$ no se redujo.
Esto puede verse de la siguiente manera: $\mu_{n,X}$ siempre está representado por el esquema $Y=\operatorname{\underline{Spec}}\mathcal O_X[T]/(T^n-1)$ , y de forma similar $\mu_{n,Z}$ está representado por el cambio de base $i^*Y$ . Si $n$ es invertible, entonces $Y$ es étala sobre $X$ y (así) $i^*Y$ es étala sobre $Z$ . En este caso es completamente formal demostrar que el mapa inducido $i^*h_Y\rightarrow h_{i^*Y}$ en gavillas representables es un isomorfismo. De hecho, por el lema de Yoneda, basta con comprobar que $$\operatorname{Hom}_{\mathrm{Sh}(Z_{\mathrm{\acute{e}t}})}(h_{i^*Y},\mathcal F)\rightarrow \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sh}(Z_{\mathrm{\acute{e}t}})}(i^*h_Y,\mathcal F)$$ es un isomorfismo para todas las láminas $\mathcal F\in \mathrm{Sh}(Z_{\mathrm{\acute{e}t}})$ . Esto se deduce del cálculo $$ \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sh}(Z_{\mathrm{\acute{e}t}})}(h_{i^*Y},\mathcal F)\cong\Gamma(i^*Y,\mathcal F)\cong\Gamma(Y,i_*\mathcal F)\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{Sh}(X_{\mathrm{\acute{e}t}})}(h_{Y},i_*\mathcal F)\cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sh}(Z_{\mathrm{\acute{e}t}})}(i^*h_{Y},\mathcal F)\,.$$ El primer y tercer isomorfismo se desprenden del lema de Yoneda, el segundo se mantiene por definición de $i_*\mathcal F$ y el cuarto por el $(i^*,i_*)$ -adjunción. En el primer y tercer isomorfismo, utilizamos críticamente que $i^*Y$ y $Y$ son etéreos sobre $Z$ y $X$ respectivamente. Esto explica por qué $i^*\mathbb G_{m,X}\rightarrow \mathbb G_{m,Z}$ puede no ser un isomorfismo, como se señala en los comentarios: $\mathbb G_{m,X}$ es representable por un $X$ -esquema, pero no por un étale.
Caso 2. $X$ y (así) $Z$ tienen características $p$ . Sólo necesitaremos eso $X$ y $Z$ se reducen y $i$ puede ser cualquier mapa. Además, la cuestión es local, por lo que podemos suponer $X=\operatorname{Spec} A$ y $Z$ son afines. Finalmente, $\mu_{n,X}$ es la suma directa de sus subtramos $\mu_{\ell^{m}}$ , donde $\ell$ es un divisor primo de $n$ y $\ell^m$ es la mayor potencia de $\ell$ dividiendo $n$ . Para $\ell\neq p$ El caso 1 lo hace, por lo que podemos suponer $n=p^m$ .
Tenga en cuenta que cada $\mathbb F_p$ -Álgebra $B$ con un $p^m$ -raíz de la unidad $\zeta$ es necesariamente no reducido, ya que $0=\zeta^{p^m}-1=(\zeta-1)^{p^m}$ . Pero toda álgebra estática sobre el anillo reducido $A$ se reduce de nuevo. Para $A$ noetheriano, esto se deduce del hecho de que un anillo noetheriano es reducido si satisface las condiciones de Serre $(R_0)$ y $(S_1)$ (el hermano pequeño del criterio de normalidad de Serre) y que las condiciones $(R_k)$ y $(S_k)$ ascender a lo largo de los mapas etéreos. En general, podemos escribir cualquier mapa étale $A\rightarrow B$ como colímite filtrado $\operatorname{colimit} (A_\alpha\rightarrow B_\alpha)$ de mapas etélicos entre tipos finitos $\mathbb Z$ -algebras. Sustituyendo todas las $A_\alpha$ por sus reducciones, el argumento anterior muestra que $B$ puede escribirse como un colímite filtrado de anillos reducidos $B_\alpha$ De ahí que $B$ se reduce a sí mismo.
Por lo tanto, las láminas étale $\mu_{p^m,X}$ y $\mu_{p^m,Z}$ desaparecen si $X$ y $Z$ se reducen de la característica $p$ Así que $i^*\mu_{p^m,X}\rightarrow \mu_{p^m,Z}$ es trivialmente un isomorfismo.
