$\{a^3+(1-\sqrt{2})a^2-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2}\}x^2+2(a^2-2)x+a>-\sqrt{2}$

Question

Si $\{a^3+(1-\sqrt{2})a^2-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2}\}x^2+2(a^2-2)x+a>-\sqrt{2}$ se satisface para todos los reales $x>0$ a continuación, obtener los posibles valores del parámetro $a$ .

Mi intento es el siguiente:

$$\{a^3+(1-\sqrt{2})a^2-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2}\}x^2+2(a^2-2)x+a+\sqrt{2}>0$$

Primera condición : Si $\forall$ $x>0$ se satisface la desigualdad, significa que $x=0$ debe haber sido la raíz de la ecuación $\quad \{a^3+(1-\sqrt{2})a^2-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2}\}x^2+2(a^2-2)x+a+\sqrt{2}=0\quad$ a la que no se satisface la desigualdad dada.

Segunda condición : Si una raíz es real, entonces la otra raíz debe ser real ya que las raíces complejas ocurren como conjugadas si todos los coeficientes de la ecuación cuadrática son reales. Así que $D>=0$

Tercera condición : $a>0$ como $\forall$ $x>0$ , $\quad\{a^3+(1-\sqrt{2})a^2-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2}\}x^2+2(a^2-2)x+a+\sqrt{2}>0\quad$

Primera condición: $$x=0$$ $$a+\sqrt{2}=0$$ $$a=-\sqrt{2}$$

Segunda condición: $$D>=0$$

$$4(a^2-2)^2-4(a-\sqrt{2})(a^2+a-3)(a+\sqrt{2})>=0$$ $$(a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})(a^2-2-a^2-a+3)>=0$$ $$(a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})(a-1)<=0$$ $$a\in \left(-\infty,-\sqrt{2}\right]\quad \cup \quad[1,\sqrt{2}]$$

Tercera condición:

$$a>0$$ $$(a-\sqrt{2})(a^2+a-3)>0$$ $$(a-\sqrt{2})\left(a-\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\right)\left(a-\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\right)>0$$

$$a\in \left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(\sqrt{2},\infty\right) $$

Tomando la intersección de las tres condiciones se obtendría

$$a\in \{-\sqrt{2}\}\quad$$

Pero la respuesta es $a\in [-\sqrt{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2})\quad\cup\quad\left[\sqrt{2},\infty\right)$

Qué me estoy perdiendo aquí, he intentado pensar mucho en ello pero no he hecho ningún avance. Por favor, ayúdenme en esto.

Answer 1

¿Por qué tomas la intersección de esas tres condiciones? No tiene mucho sentido para mí.

Por ejemplo, la segunda condición $\Delta\geq 0$ no es necesario . Si $a>\sqrt{2}$ entonces tenemos $\Delta<0$ y la desigualdad se cumple para todos los reales $x$ (no sólo para $x>0$ ): $$\underbrace{(a^2+a-3)(a-\sqrt{2})}_{>0}x^2+2(a^2-2)x+(a+\sqrt{2})>0.$$ También $a=\sqrt{2}$ funciona porque la desigualdad se reduce a $(\sqrt{2}+\sqrt{2})>0$ que se mantiene.

Por lo tanto, $[\sqrt{2},+\infty)$ es un subconjunto de los posibles valores del parámetro $a$ .

Answer 2

Para la primera condición ( $x = 0$ ), quieres $a+\sqrt{2} > 0$ así que $a > -\sqrt{2}$ .

Answer 3

Bueno, tengo la respuesta, gracias a @Robert Z

I) Primero veamos cuál debe ser la condición cuando $a>0 \text{\{a here means coefficient of $ x^2 $\}}$

Así que $$\text{parameter }a\in \left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(\sqrt{2},\infty\right) $$

Ahora puede haber dos subcasos:

1) Cuando $D<0$ entonces en todos los valores de $x$ La desigualdad se mantendrá.

Así que para $D<0$ y $a>0$ , $\text{parameter }a\in \left(-\sqrt{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(\sqrt{2},\infty\right)$

2) Cuando $D>=0$ entonces la desigualdad se mantendrá sólo cuando $x=0$ es la raíz de la ecuación cuadrática dada.

Así que para $a>0$ y $D>=0$ y $\text{$ x=0 $ is the root}$ obtenemos el parámetro $a\in \{-\sqrt{2}\}$

II)Cuando $a<0$ ya que en ese caso la desigualdad no puede mantenerse hasta $+\infty$ Así que no hay soluciones.

III) Cuando $a=0$ , entonces el parámetro $a$ puede ser $\{\sqrt{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2},\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\}$

Si el parámetro $a=\sqrt{2}$ entonces $\sqrt{2}+\sqrt{2}>0$ que siempre es cierto, por lo que $\sqrt{2}$ es la solución.

Si el parámetro $a=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ , entonces obtenemos $x<4.5$ por lo que la desigualdad se mantendrá sólo para $x<4.5 $ pero queremos que la desigualdad se mantenga $\forall x>0$ Así que $a=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ no puede ser la solución.

Si el parámetro $a=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ , entonces obtenemos $x>0.133$ por lo que la desigualdad se mantendrá sólo para $x>0.133$ pero queremos que la desigualdad se mantenga $\forall x>0$ Así que $a=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ no puede ser la solución.

Así que tomando la unión de todos los casos I),II),III), obtenemos $\text {parameter }a\in [-\sqrt{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2})\quad\cup\quad\left[\sqrt{2},\infty\right)$ que es la respuesta correcta.