Estos dos grupos tienen el mismo orden. Además, no podemos demostrar que los grupos no son isomorfos comparando el orden de los elementos de los grupos. Por lo tanto, parece que estos dos grupos son isomorfos.
Cómo demostrar que $\mathbb{Z}_{84} \oplus \mathbb{Z}_{72}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_{36} \oplus \mathbb{Z}_{168}$ .
En efecto, son isomorfos, y para notarlo, se utiliza el hecho de que $\mathbb{Z}_{mn} = \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$ si y sólo si $\text{gcd}(m,n) = 1$
Y como $84 = 12 \cdot 7$ y $72 = 8 \cdot9$ puedes descomponer el L.H.S en
$\mathbb{Z}_9 \times \mathbb{Z}_8 \times \mathbb{Z}_7 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4$ y mostrar que se puede hacer algo similar con el RHS.
De manera más general,
$\Bbb Z_m \times \Bbb Z_n \cong \Bbb Z_{\gcd(m,n)} \times \Bbb Z_{\operatorname{lcm}(m,n)}$
(ver esta pregunta y esta pregunta )
Por lo tanto, $$ \mathbb{Z}_{84} \oplus \mathbb{Z}_{72} \cong \mathbb{Z}_{12} \oplus \mathbb{Z}_{504} \cong \mathbb{Z}_{36} \oplus \mathbb{Z}_{168} $$ porque $\gcd(84,72)=12=\gcd(36,108)$ y $\operatorname{lcm}(84,72)=504=\operatorname{lcm}(36,108)$ .
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