¿Cada matriz definida semi-positiva corresponde a una matriz de covarianza?

Question

¿Es bien sabido que una matriz de covarianza debe ser semi positiva definida, sin embargo, es el verdadero de converse?

¿Es decir, corresponde a una matriz de covarianza cada matriz definida semi positiva?

Answer 1

Pasando por las definiciones de la EP y PSD aquí, sí, así lo creo, ya que puede hacer esto mediante la construcción. Voy a suponer por un poco más simple argumento de que usted significa para matrices con elementos reales, pero con los cambios pertinentes que se extendería a matrices complejas.

Deje $A$ ser verdadera la PSD de la matriz, a partir de la definición que he ligado, va a ser simétrica. Real simétrica positiva definida la matriz de $A$ puede ser escrito como $A = LL^T$. Esto se puede hacer por $L=Q\sqrt{D}Q^T$ si $A=QDQ^T$ con ortogonal $Q$ y diagonal $D$ $\sqrt{D}$ como matriz de componente sabio de las raíces cuadradas de $D$. Por lo tanto, no tienen que ser de rango completo.

Deje $Z$ ser algunos de vector de la variable aleatoria, de la dimensión que corresponda, con matriz de covarianza $I$ (que es fácil de crear).

A continuación, $LZ$ ha matriz de covarianza $A$.

[Al menos eso es en teoría. En la práctica no tendría que varios numérico de los temas a tratar, si quería obtener buenos resultados, y - debido a los problemas habituales con punto flotante de cálculo - que sólo había aproximadamente a obtener lo que necesita; es decir, la varianza de la población de un calculada $LZ$ generalmente no se exactamente $A$. Pero este tipo de cosas siempre es un problema cuando nos llegará realmente a calcular cosas]