¿Es bien sabido que una matriz de covarianza debe ser semi positiva definida, sin embargo, es el verdadero de converse?
¿Es decir, corresponde a una matriz de covarianza cada matriz definida semi positiva?
¿Es bien sabido que una matriz de covarianza debe ser semi positiva definida, sin embargo, es el verdadero de converse?
¿Es decir, corresponde a una matriz de covarianza cada matriz definida semi positiva?
Pasando por las definiciones de la EP y PSD aquí, sí, así lo creo, ya que puede hacer esto mediante la construcción. Voy a suponer por un poco más simple argumento de que usted significa para matrices con elementos reales, pero con los cambios pertinentes que se extendería a matrices complejas.
Deje $A$ ser verdadera la PSD de la matriz, a partir de la definición que he ligado, va a ser simétrica. Real simétrica positiva definida la matriz de $A$ puede ser escrito como $A = LL^T$. Esto se puede hacer por $L=Q\sqrt{D}Q^T$ si $A=QDQ^T$ con ortogonal $Q$ y diagonal $D$ $\sqrt{D}$ como matriz de componente sabio de las raíces cuadradas de $D$. Por lo tanto, no tienen que ser de rango completo.
Deje $Z$ ser algunos de vector de la variable aleatoria, de la dimensión que corresponda, con matriz de covarianza $I$ (que es fácil de crear).
A continuación, $LZ$ ha matriz de covarianza $A$.
[Al menos eso es en teoría. En la práctica no tendría que varios numérico de los temas a tratar, si quería obtener buenos resultados, y - debido a los problemas habituales con punto flotante de cálculo - que sólo había aproximadamente a obtener lo que necesita; es decir, la varianza de la población de un calculada $LZ$ generalmente no se exactamente $A$. Pero este tipo de cosas siempre es un problema cuando nos llegará realmente a calcular cosas]
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