La conversión de expresiones con raíces cuadradas

Question

Cuando la solución de diferentes ecuaciones, me he dado cuenta, que algunas de las raíces que contienen sólo las operaciones aritméticas y las raíces cuadradas (el 4, el 8 de raíces demasiado, ya que pueden ser representados usando sólo las raíces cuadradas) puede ser convertido a anidada raíces cuadradas forma. Ejemplos (estas son las raíces de ecuaciones de 2º, 4º, 4º y 8º grado): $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5+\sqrt{24}}$$ $$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}=\sqrt{15+\sqrt{160+\sqrt{6912+\sqrt{18874368}}}}$$ $A$1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}=\sqrt{21+\sqrt{413+\sqrt{4656+\sqrt{16588800}}}}$$ $$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{14+\sqrt{140+\sqrt{4096+\sqrt{8847360}}}}$$ Sin embargo, no he logrado convertir en la forma siguiente raíz (8º grado de la ecuación): $$3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ De realizar cualquier operación con ella, el número de raíces cuadradas en el interior aumenta, lo que me hace pensar que la conversión de que la raíz es imposible.

Así, la pregunta: ¿se Puede hacer con root y con lo raíces en general?

Algunas formas yo era capaz de conseguir: $$\sqrt{19+6 \sqrt{2}+6 \sqrt{3}+6 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}+2 \sqrt{10}+2 \sqrt{15}}$$ $$\sqrt{19+2\left(\sqrt{33+6 \sqrt{30}}+\sqrt{37+6 \sqrt{30}}+\sqrt{51+6 \sqrt{30}}\right)}$$

Si uno no sabe cómo llegué a esas expresiones, aquí tienes un ejemplo.

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^2}=$$ $$=\sqrt{10+2 \left(\sqrt{15}+\sqrt{6}+\sqrt{10}\right)}=\sqrt{10+2 \left(\sqrt{15}+\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}\right)^2}\right)}=$$ $$=\sqrt{10+2 \left(\sqrt{15}+\sqrt{16+4 \sqrt{15}}\right)}=\sqrt{10+2 \left(\sqrt{15}-a+a+\sqrt{16+4 \sqrt{15}}\right)}=$$ $$=\sqrt{10+2a+2 \left(\sqrt{\left(\sqrt{15}-\right)^2}+\sqrt{16+4 \sqrt{15}}\right)}=$$ $$=\sqrt{10+2a+2 \left(\sqrt{15+a^2-2a \sqrt{15}}+\sqrt{16+4 \sqrt{15}}\right)}=$$ $$[2a=4 \Rightarrow a=2]$$ $$=\sqrt{14+2 \left(\sqrt{19-4\sqrt{15}}+\sqrt{16+4 \sqrt{15}}\right)}=$$ $$=\sqrt{14+2 \sqrt{\left(\sqrt{19-4\sqrt{15}}+\sqrt{16+4 \sqrt{15}}\right)^2}}=$$ $$=\sqrt{14+2 \sqrt{35+4 \sqrt{16+3 \sqrt{15}}}}=\sqrt{14+\sqrt{140+\sqrt{4096+\sqrt{8847360}}}}$$

Answer 1

Toda la diferencia entre los números de la forma $$x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d + \sqrt{5}\qquad\qquad (a,b,c,d\in\mathbb{Z}_+)$$ y el $$ $ y=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d + \sqrt{6}\qquad\qquad (a,b,c,d\in\mathbb{Z}_+)$$ es que sus poderes pueden ser escritas (exclusivamente) como $$ x^p = k_{p1} + k_{p2}\sqrt{2} + k_{p3}\sqrt{3} + k_{p4}\sqrt{5} + k_{p5}\sqrt{6} + k_{p6}\sqrt{10} + k_{p7}\sqrt{15} +k_{p8}\sqrt{30}, \etiqueta{1} $$ pero $$ y^p = l_{p1} + l_{p2}\sqrt{2} + l_{p3}\sqrt{3} + l_{p4}\sqrt{6}, \etiqueta{1'} $$ donde $k_{pj}\in\mathbb{Z}_+$, $l_{pj}\in\mathbb{Z}_+$.

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Si uno quiere escribir $x$ en la forma de anidado radicales $$ x=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\sqrt{...+\sqrt{a_{n-1}+\sqrt{a_n}}}}}, $$

entonces $x$ es la raíz del polinomio de $2^n$-ésimo grado $$ P(x) = \left(\left(\left(x^2-a_1\right)^2-a_2\right)^2-\cdots-a_{n-1}\right)^2-a_n, $$ $$ P(x) = x^{2^n} + p_{2^{n-1}-1}(a_1,...,a_n)x^{2^n-2}+\cdots + p_1 (a_1,...,a_n)x^2 + p_0(a_1,...,a_n), $$ $$ P(x) = \sum_{j=0}^{2^{n-1}} p_{j}(a_1,...,a_n)x^{2j}, $$ donde $p_{j}(a_1,...,a_n)$ son polinomios de $a_1,...,a_n$ con coeficientes enteros.

Vamos a dividir el polinomio $P(x)$ en $8$ lineal (racional) partes independientes:

$$ P(x) =\\ 1\cdot \sum_{j=0}^{2^{n-1}}p_j(a_1,...,a_n)k_{2j,1} \\ + \sqrt{2} \cdot \sum_{j=0}^{2^{n-1}}p_j(a_1,...,a_n)k_{2j,2} \\ + \sqrt{3} \cdot \sum_{j=0}^{2^{n-1}}p_j(a_1,...,a_n)k_{2j,3} \\ + \sqrt{5} \cdot \sum_{j=0}^{2^{n-1}}p_j(a_1,...,a_n)k_{2j,4} \\ + \cdots \\ + \sqrt{30} \cdot \sum_{j=0}^{2^{n-1}}p_j(a_1,...,a_n)k_{2j,8}.\la etiqueta{2} $$

La suma de cada fila debe ser igual a $0$.

Pero cada suma como polinomio de $a_1,...,a_n$ depende de $$ n variables de tipo integer/valores.

$8$ (no lineal) las ecuaciones para $n$ valores.

No debe ser muy afortunada casualidad si $4$ variables $a_1,a_2,a_3,a_4$ apoyará a todos los $8$ ecuaciones.

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Creo, debe haber $8$ anidada radicales aquí para aportar la mayor cantidad de "libre" variables $a_1,...,a_n$:

$$ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d + \sqrt{5} = \sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\sqrt{...+\sqrt{a_7+\sqrt{a_8}}}}}. $$

Es difícil encontrar la forma.

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Nota: si $x$ es de la forma $$ x = b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d + \sqrt{5}, $$ a continuación, (ver $(1)$) $$ x^{2j} = k_{2j,1}+k_{2j,5}\sqrt{6}+k_{2j,6}\sqrt{10}+k_{2j,7}\sqrt{15}, $$ (coeficientes de cerca de $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{30}$ son $0$), por lo que hay sólo $4$ filas en $(2)$.

Un par de ejemplos de los radicales de la forma:

$$ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7} = \sqrt{16+\sqrt{180+\sqrt{10\;496 + \sqrt{34\;406\;400}}}}, $$

$$ \sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{5} = \sqrt{23+\sqrt{392+\sqrt{77\;824+\sqrt{3\;538\;944\;000}}}}, $$

$$ 3\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} = \sqrt{32+\sqrt{672+\sqrt{229\;824+\sqrt{11\;943\;936\;000}}}}. $$

Answer 2

La escritura de un número $\alpha$ en este anidada raíz cuadrada de la forma $$\sqrt{a_1+\sqrt{a_{2}+\sqrt{...\sqrt{a_n}}}} \; \; (1)$$ implica que $\alpha$ satisface la ecuación $$(((x^2-a_1)^2-a_2)^2...)^2-a_n = 0 \; \; (2)$$ donde $a_i$ son números enteros. De hecho, lo que permite que tanto los valores de la raíz cuadrada, los números de la forma (1) son precisamente las personas que cumplen la ecuación (2).

Expansión (2), nos encontramos con que es un monic polinomio en $x^2$ de grado $2^{n-1}$ con coeficientes enteros. Para $n \ge 3$, el polinomio tendrá más de $n$ coeficientes después de la primera, por lo que estos no pueden ser libremente especificado a través de la elección de $a_1,...,a_n$. Nos hacen llegar, sin embargo, que si la cantidad de $\alpha$ puede ser escrita en la forma (1), entonces $\alpha^2$ es una raíz de un monic entero polinomio de grado $2^k$ $k \in \{0,1,2,...\}$.

Si generalizas la forma $$a_1+\sqrt{a_2+\sqrt{a_{3}+\sqrt{...\sqrt{a_n}}}} \; \; (1*)$$ entonces la condición necesaria se convierte en $\alpha$ sí es una raíz de un polinomio.

Las raíces de monic entero polinomios (de cualquier grado) son llamados algebraica de los números enteros. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_integer

Answer 3

Aquí es otro enfoque. Espero que sea más útil.

A.
Para cualquier vector $v$, con coeficientes enteros $$ v = (a,b,c,d,e,f,g,h) $$ denotar combinación lineal $$ x_v = a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d + \sqrt{5}+e\sqrt{6}+f\sqrt{10}+g\sqrt{15}+h\sqrt{30}.\la etiqueta{1} $$

Los valores de $x_v$ generar anillo (todas las sumas, productos de ellos tiene la forma $(1)$, etc).

Valor $$ x_v^2-a $$ según ha apropiado de vector con coeficientes enteros (vector $w=(a',b',c',d',e',f',g',h')$, donde sus coeficientes se definen como $$ \begin{array}{l} a'=a^2+2b^2+3c^2+5d^2+6e^2+10f^2+15g^2+30h^2-A;\\ b'=2(ab+3ce+5df+15gh),\\ c'=2(ac+2be+5dg+10fh),\\ d'=2(ad+2bf+3cg+6eh),\\ e'=2(ae+bc+5fg+5dh),\\ f'=2(af+bd+3eg+3ch),\\ g'=2(ag+cd+2ef+2bh),\\ h'=2(ah+bg+cf+de).\la etiqueta{2} \end{array} $$

Así, se puede definir el vector de transformación $$ w = T(v,A),\etiqueta{3} $$ descrito por $(2)$.

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B.
Si no hay representación $$ 3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{A_1+\sqrt{A_2+\sqrt{A_3+...+\sqrt{A_{n-1}+\sqrt{A_n}}}}},\etiqueta{4} $$ a continuación, para que el vector de $v_0=(3,1,1,1,0,0,0,0)$ existir estas transformaciones:

$$ v_1=T(v_0,A_1),\\ v_2=T(v_1,A_2),\\ ...\\ v_n=T(v_{n-1},A_n),\etiqueta{5} $$ donde $v_n$ iz cero vector: $v_n=(0,0,0,0,0,0,0,0)$.

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C.

Ahora, aplicar la aritmética modular para $(2), (3), (5)$.

Por $m\in\mathbb{N}$ denotar la transformación

$$ z = T_m(v,A),\etiqueta{3'} $$ donde $z=(a'\bmod m, ~ b'\bmod m, ~ c'\bmod m, ... , ~ h'\bmod m)$, y $a',b',c',...,h'$ se definen en $(2)$.

Si existen transformaciones de $(5)$ convertir $v_0=(3,1,1,1,0,0,0,0)$ $v_n=(0,0,...,0)$, entonces para cualquier $m\in\mathbb{N}$ debe existir transformaciones

$$ z_1=T_m(v_0,A_1),\\ z_2=T_m(z_1,A_2),\\ ...\\ z_n=T_m(z_{n-1},A_n),\etiqueta{5'} $$

donde $z_n=(0,0,0,0,0,0,0,0)$.

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D.

Para $n=4$ ($4$ anidada rdicals), si elegimos $m=5,7,10,11,...$, entonces $0\le A_1,A_2,A_3,A_4 <m$ valor $z_4$ no puede ser cero vector.

Para $n=5$ uno puede utilizar los $m=11,13,17,19,...$ a ver que $z_5$ no puede ser de $\vec{0}$.

Para $n=6$ uno puede utilizar los $m=31, 41, 43, 47, ...$ a ver que $z_6$ no puede ser de $\vec{0}$.

Así, debe ser de al menos $n\ge 7$ radicales. (Voy a actualizar esta respuesta después de la comprobación de $n=7$).

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Cómo D es de trabajo (temporal):

Ejemplo para $n=5$, $m=11$:

a partir vector ([0]=3,b[0]=1,c[0]=1,d[0]=1,e[0]=...=h[0]=0)

Necesito comprobar si hay secuencia de $A[0],..., [4]$ que genera (0,0,0,0,0,0,0,0).

Puede ser utilizado "como es", o más inteligente:
si no hay secuencia $A[0], ..., A[2], [3] de dólares que genera el vector (a,b,c,d,e,f,g,h), donde $a$ puede ser distinto de cero; o aún así:
si no hay secuencia $A[0], ..., A[2]$ que genera el vector (a,b,c,d,e,f,g,h), donde $a$ puede ser distinto de cero y uno de $b,c,d,e,f,g,h$ es distinto de cero.

Si se aplican algunos modulo $m$, cada uno $A[j]$ es equivalente a $0$ o $de$ 1 o $2$ o ... o $m-1$.

Después de la prueba:

for A[0]=0,1, ..., m-1
for A[1]=0,1, ..., m-1
for A[2]=0,1, ..., m-1
{
  a[1] =  (a[0]*a[0]+ 30*h[0]*h[0] - A[0]) mod m;
  b[1] = 2(a[0]*b[0]+...+15*g[0]*h[0]) mod m;
  ...
  h[1] = 2(a[0]*h[0]+...+d[0]*e[0]) mod m;

  a[2] =  (a[1]*a[1]+ 30*h[1]*h[1] - A[1]) mod m;
  b[2] = 2(a[1]*b[1]+...+15*g[1]*h[1]) mod m;
  ...
  h[2] = 2(a[1]*h[1]+...+d[1]*e[1]) mod m;

  and 
  a[3], b[3],   ...,  h[3] same way;

  and 
  a[4], b[4],   ...,  h[4] same way, but use 0 instead of A[3];

  then check if only one of b[4],c[4],...,h[4] is nonzero (say d[4]);
  if "yes", then success (possible solution);
  then A[3] = a[4], and A[4] is based on this last non-zero term (like d[4]);   
}

Answer 4

Para cualquier par $(a,b)$ uno puede escribir $$ \sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{A+2\sqrt{B}},\etiqueta{1} $$ donde
$A=a+b$,
$B=ab$.

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Para cualquier ordenó triple $(a,b,c)$ tal que $1\le\le b \le c$, uno puede escribir $$ \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} = \sqrt{A +2\sqrt{B+2\left(\sqrt{p}+\sqrt{q}\right)}} = \sqrt{A + 2\sqrt{B + 2\sqrt{C + 2\sqrt{D}}}},\etiqueta{2} $$

donde
$A=3a+b+c$,
$B=(a+b)(a+c)$,
$p = ac(b-a)^2$,
$q = ab(c-a)^2$,
$C = p+q$, ($(1)$)
$D = pq$.

Nota, que
$\sqrt{p} = (b-a)\sqrt{ac}$,
$\sqrt{q} = (c-a)\sqrt{ab}$,
$\sqrt{D} = a (b-a) (c-a) \sqrt{bc}$.

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Tal vez no hay razón para buscar $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ en el formulario $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}= \sqrt{A+2\sqrt{B+2\sqrt{C+2\sqrt{D+2\left(\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}\right)}}}},\etiqueta{3}$$ y (caso de éxito) aplicar $(2)$ a la suma de $\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}$.

Answer 5

Si usted tiene algo de la forma $\sqrt{a+\sqrt b}$, puede ser denested de la siguiente manera:

$\sqrt c+\sqrt d=\sqrt{(\sqrt c+\sqrt d)^2}=\sqrt{(c+d)+2\sqrt{cd}}=\sqrt{(c+d)+\sqrt{4cd}}=\sqrt{a+\sqrt b}$

Así que tenemos un total de $c+d=a,cd=\frac b4$. $c$ y $d$ son por tanto, las soluciones de $x^2-x+\frac b4=0$. Un proceso similar obras por $\sqrt{a-\sqrt b}=\sqrt c-\sqrt d$. Si las raíces son racionales, tiene denested la plaza.

Al igual, por algo así como $\sqrt{w+\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z}$, tenemos

$\sqrt un+\sqrt b + \sqrt c=\sqrt{(\sqrt un+\sqrt b + \sqrt c)^2}=\sqrt{(a+b+c)+\sqrt{4ab}+\sqrt{4ac}+\sqrt{4ac}}$, por lo que tenemos $a+b+c=w ab+ac+bc=\frac{x+y+z}{4},abc=\frac{\sqrt{xyz}}{8}.$ Por lo que $a,b,c$ son soluciones de la ecuación cúbica $u^3-wu^2+\frac{x+y+z}{4}u-\frac{\sqrt{x y z}}{8}=0$. Por ejemplo,$\sqrt{10+2 \left(\sqrt{15}+\sqrt{6}+\sqrt{10}\right)}=\sqrt{10+ \sqrt{60}+\sqrt{24}+\sqrt{40}}$, dispone de la correspondiente ecuación cúbica $u^3-10u^2+31u-30=0$, con raíces $u=2,3,5$, por lo que $\sqrt{10+2 \left(\sqrt{15}+\sqrt{6}+\sqrt{10}\right)}=\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 5$.

¿Como hacer esto? En general, si usted tiene una raíz cuadrada con $\frac{n (n-1)}{2}$ de las raíces cuadradas bajo para algún entero $n$, y exactamente $1$ número racional, puede volver a escribir como una suma de $n$ de las raíces cuadradas. Elevando al cuadrado y la plaza de enraizamiento, se puede equiparar a los diversos componentes, y, posiblemente, la manipulación de ellos (como se ha hecho con el cúbicos coeficientes), puede utilizar Vieta fórmulas para determinar un $$n º de grado del polinomio cuyas raíces determinar cómo denest. Por algo así como $\sqrt{14+\sqrt{140+\sqrt{4096+\sqrt{8847360}}}}$, usted tiene que denest el primer radical en el interior, luego el siguiente, etc... Se podría generalizar el resultado a la mayor de las raíces que acaba de plazas, pero me imagino que sería messier. Como para cuando el almacenaje de obras, sería mejor que la esperanza de las raíces de los polinomios racionales, o de lo contrario va a terminar con más anidada radicales. De lo contrario, no tiene un denested forma. Espero que esto responda tu pregunta!