¿Cómo se produce una sobrecarga de $\pi_1(\Sigma_g)$ a un grupo $Q$ determinar un elemento de $H_2(Q,\mathbb{Z})$ ?

Question

Dejemos que $\Sigma_g$ sea una superficie orientable cerrada de género $g$ en la página 36 de este documento . Se afirma que para un grupo finito $Q$ , un homomorfismo $\pi_1(\Sigma_g)\rightarrow Q$ determina un elemento en $H_2(Q,\mathbb{Z})$ .

¿Cómo funciona esto? Esto es especialmente confuso para mí, ya que ni siquiera especifican la acción de $Q$ en $\mathbb{Z}$ y el grupo de homología no parece incluir los datos de $\pi_1(\Sigma_g)$ en absoluto.

Answer 1

De forma muy general, dado un homomorfismo $G\to H$ de grupos, existe un homomorfismo inducido $H_n(G,\mathbb{Z})\to H_n(H,\mathbb{Z})$ sobre la homología (aquí las acciones de los grupos sobre $\mathbb{Z}$ son triviales). En su caso, tiene $G=\pi_1(\Sigma_g)$ , $H=Q$ y $n=2$ , dando un homomorfismo $H_2(\pi_1(\Sigma_g),\mathbb{Z})\to H_2(Q,\mathbb{Z})$ . Pero $H_2(\pi_1(\Sigma_g),\mathbb{Z})=H_2(\Sigma_g,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ , por lo que esto es sólo un homomorfismo $\mathbb{Z}\to H_2(Q,\mathbb{Z})$ . El elemento en $H_2(Q,\mathbb{Z})$ que nos interesa es sólo la imagen de $1\in\mathbb{Z}$ bajo este homomorfismo.

Así que para responder a los puntos concretos que le preocupan, la acción de $Q$ en $\mathbb{Z}$ es trivial, y la propiedad especial de $\pi_1(\Sigma_g)$ utilizado aquí es que tenemos una clase elegida en $H_2(\pi_1(\Sigma_g),\mathbb{Z})$ cuya imagen podemos tomar.

(El documento describe esto en términos topológicos: un homomorfismo $\pi_1(\Sigma_g)\to Q$ te da un mapa de espacios clasificatorios $B\pi_1(\Sigma_g)\to BQ$ y luego estás viendo el mapa inducido en $H_2$ de estos espacios. Pero $B\pi_1(\Sigma_g)$ es sólo $\Sigma_g$ por lo que existe una clase canónica en su $H_2$ (la clase fundamental), y podemos tomar la imagen de esta clase en $H_2(BQ,\mathbb{Z})$ .)

Answer 2

En primer lugar, observe que $\Sigma_g$ se obtiene de un ramillete de $2g$ círculos $B=S^1 \vee \dots \vee S^1$ añadiendo una única célula de dos $D$ a través de un determinado mapa de encolado $\varphi: \partial D \to B$ .

Dejemos que $X$ denotan un complejo CW con la homotopía tipe de a $K(Q,1)$ (es decir, supongamos que $\pi_1(X)=Q$ y $\pi_i(X)=0$ para $i \geq 2$ ) para que $H_*(Q, \mathbb{Z})=H_*(X, \mathbb{Z})$ . Hasta colapsar un árbol máximo del esqueleto único de $X$ se puede suponer que el esqueleto único de $X$ es también un ramillete de círculos. Utilizaremos los puntos base de estos ramos como puntos base de los distintos grupos de homotopía que aparecen.

Un homomorfismo de grupo $u: \pi_1(\Sigma_g) \to Q = \pi_1(X)$ da un mapa que preserva el punto base $B \to X$ para cada círculo $\gamma$ de $B$ obtenemos un mapa $u(\gamma): (S^1, 1) \to (X, \text{base point)}$ y la colección de estos mapas desciende a un mapa $f: B \to X$ .

Ahora bien, como $f\varphi: \partial D \to X$ es homotópicamente trivial, el mapa $f: B \to X $ se dirige a un mapa $\tilde{f}: \Sigma_g \to X$ y podemos considerar el mapa inducido en la homología $\tilde{f}_*: H_2(\Sigma_g, \mathbb{Z}) \to H_2(X, \mathbb{Z})= H_2(Q, \mathbb{Z})$ .

Supongo que el elemento deseado viene dado por $\alpha=\tilde{f}_*(\mu)\in H_2(Q, \mathbb{Z})$ , donde $\mu\in H_2(\Sigma_g, \mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ denota una clase de orientación de $\Sigma_g$ .

PD: observe que $\alpha$ (sólo definida hasta un signo si no se elige una orientación) depende sólo del homomorfismo $u: \pi_1(\Sigma_g) \to Q$ ya que en cada punto la construcción es esencialmente única hasta la homotopía.