Resolución de una ecuación de Laplace en 2D

Question

Resolver $\nabla^{2}u=0$ en la región $\rho>a$ , $0<\theta<\pi$ tal que $u(\rho,0)=u(\rho,\pi)=0$ y $u(a, \theta) = u_{0}$ y $u\to0$ como $\rho\to\infty$ .

Tenemos la solución general $$u(\rho,\theta)=A_{0} + B_{0}\ln{\rho} + \sum^{\infty}_{n=1}(A_{n}\rho^{n}+B_{n}\rho^{-n})(C_{n}\cos{n\theta}+D_{n}\sin{n\theta}).$$

Ahora mi profesor dice que se aplique $u=0$ en $\theta=0, \pi$ significa que $A_{0}=B_{0}=0$ y $C_{n}=0$ .

Pero realmente no puedo ver esto.

$$\begin{align}u(\rho,0) &= A_{0}+B_{0}\ln{\rho} + \sum_{n=1}^{\infty}(A_{n}\rho^{n}+B_{n}\rho^{-n})C_{n} = 0, & (*)\\ u(\rho,\pi)&= A_{0}+B_{0}\ln{\rho}+\sum^{\infty}_{n=1}(A_{n}\rho^{n}+B_{n}\rho^{-n})C_{n}(-1)^{n}=0.& (**)\end{align}$$

No veo cómo de alguna manera esto implica lo anterior? Me doy cuenta de que podemos hacer $(*)-(**)$ : $$\sum_{n=1}^{\infty}(A_{n}\rho^{n}+B_{n}\rho^{-n})C_{n}(1-(-1)^{n})=0$$ Entonces el sumando es cero siempre que $n$ es par, pero esto no se indica más arriba.

Answer 1

Me he dado cuenta de que has recibido ayuda en los comentarios, pero a partir del CB, podemos determinar algunas de las constantes de entrada. Como $u\to 0$ como $\rho\to\infty$ , $B_0 = 0$ ; en caso contrario, tenemos $\ln(\rho)\to\infty$ como $\rho\to\infty$ así que $u$ no estaría acotado. Ahora, $B_n = 0$ porque, de nuevo, la solución no estaría acotada ya que $\rho^n\to\infty$ como $\rho\to\infty$ . Así, podemos escribir la solución general como $$u(\rho,\theta) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\rho^n}\bigl[C_n\cos(n\theta) + D_n\sin(n\theta)\bigr]$$ Utilizando el BC, tenemos $$\begin{alignat}{2} u(\rho,0)&= A_0+ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\rho^n}C_n &&={}0\\ u(\rho,\pi)&= A_0+ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\rho^n}C_n(-1)^n &&={}0 \end{alignat}$$ Por lo tanto, $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{C_n}{\rho^n}\bigl[1-(-1)^n\bigr] = 0$$ que es más fácil de tratar que la ecuación que has derivado.