Demuestra que rank(λI-A)=rank((λI-A)^2). Dado que A es una matriz diagonalizable y λ un valor propio de A.

Question

La pregunta daba la pista de que :Para cualquier matriz invertible B,rank(AB)=rank(A)y rank(BA)=rank(A).

Estaba pensando en demostrar que IA es invertible, por lo tanto por la propiedad del rango de las matrices dadas, rank(IA)=rank((IA)^2).

Sin embargo, me he dado cuenta de que como es un valor propio de A, el det(IA) es cero y por tanto no es invertible. ¿Hay alguna manera de demostrar esto?

Answer 1

Basta con demostrar que la dimensión del espacio nulo es la misma para ambos. Es decir, los vectores propios y algunos vectores propios generalizados .

Y para las matrices diagonalizables existe una base para $\mathbb R^n$ que consiste sólo en vectores propios. Así que todos los vectores propios generalizados son vectores propios.