Igualdad de integrales

Question

Este es el q.2 de ahlfors p. 241: Mostrar que $$\int_{-1}^{1}\frac{dt}{\sqrt {(1-t^2)(1-k^2t^2)}}=\int_{1}^{\frac{1}{k}}\frac{dt}{\sqrt {(t^2-1)(1-k^2t^2)}}$$ si y solo si $k=(\sqrt{2}-1)^2$ . Gracias.

Answer 1

Este es básicamente un ejercicio en teoría de funciones elípticas. La integral a la izquierda es claramente igual a $\displaystyle I_{1} = 2\int_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2}t^{2})}} = 2\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\theta}} = 2K(k)$

La integral de la derecha es un poco complicada. Pero tenemos que ver que por definición de la función elíptica $\text{sn}(u, k)$ tenemos $\displaystyle u = \int_{0}^{\text{sn}(u, k)}\frac{dt}{\sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2}t^{2})}}$ y necesitamos usar el conocimiento de que $\text{sn}(K + iK', k) = 1/k$ de modo que $\displaystyle K + iK' = \int_{0}^{1/k}\frac{dt}{\sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2}t^{2})}}$

Luego podemos ver que

$\displaystyle K + iK' = \int_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2}t^{2})}} + \int_{1}^{1/k}\frac{dt}{\sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2}t^{2})}}$ $\displaystyle \Rightarrow iK' = \int_{1}^{1/k}\frac{dt}{\sqrt{(1 - t^{2})(1 - k^{2}t^{2})}}$

$\displaystyle \Rightarrow K' = \int_{1}^{1/k}\frac{dt}{\sqrt{(t^{2} - 1)(1 - k^{2}t^{2})}}$

Entonces, tu ecuación original entre integrales se convierte en $K'(k) = 2K(k)$ o $K'(k)/K(k) = \sqrt{4}$. Ahora claramente esto significa que $k$ es un módulo singular $k_{n}$ con $n = 4$. El valor de $k = k_{4}$ es uno estándar dado por $k = (\sqrt{2} - 1)^{2}$.

Para obtener el valor de $k$ podemos usar la transformación de Landen directamente para obtener $$K(k) = \frac{1}{1 + k}K\left(\frac{2\sqrt{k}}{1 + k}\right)$$ y si ponemos $l = 2\sqrt{k}/(1 + k)$ podemos ver que $k = (1 - l')/(1 + l')$ entonces expresamos la misma relación como $$K(l) = \frac{2}{1 + l'}K(k)$$ y también podemos ver que $k' = 2\sqrt{l'}/(1 + l')$ y por lo tanto, si reemplazamos $k$ por $l'$ en la primera relación anterior obtenemos $$K(l') = \frac{1}{1 + l'}K\left(\frac{2\sqrt{l'}}{1 + l'}\right) = \frac{1}{1 + l'}K(k')$$

Al dividir ahora obtenemos $$\frac{K(k')}{K(k)} = 2\frac{K(l')}{K(l)}$$ donde $k = (1 - l')/(1 + l')$. Si ponemos $l = 1/\sqrt{2}$ de modo que $l' = \sqrt{1 - l^{2}} = 1/\sqrt{2} = l$ entonces vemos que tenemos $$\frac{K(k')}{K(k)} = 2$$ donde $$k = \dfrac{1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}} = (\sqrt{2} - 1)^{2}$$