¿Qué medidas se han tomado para evitar $\cos(xt)+\sin(xt)=...=\cos(xt-\phi)$ cuando $\phi=\arctan(x)$

Question

\begin{align*} x(t) &= e^{-t/2}\left(\cos(\sqrt{11}t/2)+\frac1{\sqrt{11}}\sin(\sqrt{11}t/2)\right)\\ &= \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{11}} e^{-t/2} \cos(\sqrt{11}t/2)-\phi \end{align*} donde $\phi=\tan^{-1}(1/\sqrt{11})$ .

Imagen original: http://i.stack.imgur.com/QCiFW.png

¿Cómo se deriva el arctán en este ejemplo? Probablemente se ha utilizado algún tipo de identidad, como $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{\tan(x)}$

Answer 1

Basta con considerar el caso de $$A=\cos(x)+a\sin(x)$$ y definir $a=\tan(\phi)$ . Así que $$A=\cos(x)+\tan(\phi)\sin(x)=\frac{\cos(x)\cos(\phi)+\sin(\phi)\sin(x)}{\cos(\phi)}=\frac{\cos(x-\phi)}{\cos(\phi)}$$ Ahora, utilizando $\sin^2(\phi)+\cos^2(\phi)=1$ Así que $\frac{\sin^2(\phi)}{\cos^2(\phi)}+1=\frac{1}{\cos^2(\phi)}=1+a^2$ y luego $\cdots$

Estoy seguro de que puede tomar de aquí.