¿Por qué el intervalo de convergencia de una serie de Maclaurin está siempre centrado en 0?

Question

Sea cual sea la función, parece que el intervalo de convergencia de la serie de Maclaurin está siempre centrado en $0$ . He comprobado que el intervalo puede estar abierto en un lado y cerrado en el otro, pero esa parece ser la única diferencia posible entre los dos lados. No me queda claro por qué debería ser así, especialmente porque la adición de cada término a menudo parece afectar a cada lado de la función de manera diferente. (Por ejemplo, para $\frac1{1-x}$ El lado izquierdo oscila mientras que el derecho no, pero ambos lados convergen dentro del mismo radio).

¿Cómo se puede demostrar esto?

Editar: De forma más general, ¿por qué el intervalo de convergencia de una serie de Taylor está centrado en el punto en el que se centra la serie de Taylor? No me resulta evidente por qué los dos lados del intervalo tienen necesariamente la misma longitud.

Answer 1

El prueba de raíz implica que $\sum_{j=0}^{\infty}a_j \cdot (x-x_0)^j$ converge cuando $r < 1$ y diverge cuando $r>1,$ donde $r=\lim (|a_j|^{\frac{1}{j}} \cdot |x-x_0|)$ . Así, podemos estar seguros de que cuando $|x-x_0|<\lim |a_j|^{\frac{-1}{j}}$ la serie converge y cuando $|x-x_0|>\lim |a_j|^{\frac{-1}{j}}$ diverge. No es difícil convencerse de que la región $|x-x_0|<\lim |a_j|^{\frac{-1}{j}}$ es simétrico con respecto a $x_0$ que responde a su pregunta.

Es interesante añadir, sin embargo, que la prueba de la raíz no dice nada sobre el caso $r=1$ . Así que no sabemos nada sobre el comportamiento en $|x-x_0| = \lim |a_j|^{\frac{-1}{j}}$ (es decir, en los puntos $x = x_0 + \lim |a_j|^{\frac{-1}{j}}$ y $x = x_0 - \lim |a_j|^{\frac{-1}{j}}$ ). No siempre hay simetría en esos puntos, a veces puede converger en uno y divergir en el otro.