Sabemos que para $p$ -grupos, la longitud de la serie central superior e inferior es la misma. Por lo tanto, si $|G|=p^n$ , $n\geq 3$ y si $G$ es de clase máxima, entonces $G$ tiene la serie central superior $$1 < Z_1(G) <Z_2(G) <\cdots < Z_{n-2}(G) < G$$ donde $|Z_i(G)|=p^{i}$ . Como la serie central inferior también tiene la misma longitud, es $$G >\gamma_2(G) >\gamma_3(G) >\cdots > \gamma_{n-1}(G)>1$$ donde $[G\colon \gamma_2(G)]=p^2$ y otros índices sucesivos son $p$ como has dicho. Por lo tanto, $\gamma_{n-1}(G)$ es un subgrupo normal de orden $p$ .
En $p$ -los subgrupos normales intersecan el centro de forma no trivial, por lo que $Z(G)=Z_1(G)$ y $\gamma_{n-1}(G)$ se cruzan de forma no trivial, y como ambos son de orden $p$ , deben ser iguales .
Procediendo casi como antes, podemos ver que $Z_2(G)=\gamma_{n-2}(G)$ ( factor out $G$ por $Z_1(G)=\gamma_{n-1}(G)$ Aplicar el procedimiento anterior).
Así, para $p$ -grupo de clase máxima, las series centrales superior e inferior coinciden .
Volviendo a su pregunta: dejemos $N$ sea un subgrupo normal de $G$ . Si $|N|=p$ entonces $N\cap Z_1(G)\neq 1$ y como ambos tienen el mismo orden $N=Z_1(G)$ .
Si $|N|>p$ y luego otra vez, $N\cap Z_1(G)\neq 1$ implica $Z_1(G)<N$ . Sea $\overline{G}=G/Z_1(G)$ y $\overline{N}=N/Z_1(G)$ . Por inducción en $|G|$ Esta imagen de $N$ debe ser uno de los términos de la serie central inferior/superior de $\overline{G}$ Por lo tanto $N$ debe ser uno de los términos de la serie central superior/inferior de $G$ .
