Un problema sobre el teorema del apretón

Question

Déjenos tener $a(x)<b(x)$ en la que tanto a como b son números reales. Consideremos $a,b>0$ . Si $\lim{b(x)}=0$ entonces concluimos que $\lim{a(x)}=0$ . ¿Es porque $0<a(x)<b(x)$ y como $\lim{a(x)}$ está entre dos límites cero el límite de a debe ser cero.

Así que en el cálculo avanzado cuando estoy dando a las secuencias $a_n$ y $b_n$ s.t $a_n<b_n$ concluimos inmediatamente que si lim de $b_n$ llega a 0, entonces $\lim{a_n}=0$ Pero, ¿no es esto contradictorio con el teorema del apretón, ya que tenemos que asegurarnos $a_n$ es positivo para $n>N$ ?

Tenemos que asegurarnos de que $a_n$ es positivo, ¿verdad?

Answer 1

En efecto, $a_n$ debe ser no negativo, al menos para $n$ lo suficientemente grande. De lo contrario, podría tomar $b_n=\frac{1}{n}$ , $a_n=-n$ . Obviamente, $a_n<b_n$ y $b_n\to 0$ pero no tienes $a_n\to 0$ .

La mayor parte del tiempo en el cálculo $a_n$ es el valor absoluto de algo (de una diferencia entre dos cantidades) y buscamos algún $b_n$ más grande que $a_n$ y que va a $0$ .