El mayor subconjunto en el que una función es continua

Question

Dejemos que $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función con $$f(x) =0, ~ \text{if} ~~ x = 0 $$y$$ f(x) = (e^x - 1)/x, ~\text{if} ~~x \neq 0$$ Quiero determinar el mayor subconjunto $A \subset \mathbb{C}$ en el que $\phi$ es continua. Creo que esto es $A = \mathbb{C}\backslash\{0\}$ pero hasta ahora no he conseguido demostrarlo con las definiciones épsilon y delta. ¿Alguna sugerencia?

EDIT: Podría utilizar que la suma y el producto de funciones continuas sobre $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ también son continuos. Pero, ¿hay una manera más "formal"?

Answer 1

Déjame escribir $z=x+iy$ en lugar de simplemente $x$ ya que normalmente $z$ representa un número complejo mientras que $x$ representa su parte real. Veamos $f(z)=\frac{e^z-1}{z}$ cuando $z\neq0$ . Ambos $h(z)=e^z-1$ y $g(z)=z$ son funciones continuas en $\Bbb{C\setminus\{0\}}$ y porque $z\neq0$ , $\ $ $h(z)\neq0$ para todos $z\in \Bbb{C\setminus\{0\}}$ Así que $f(z)=\frac{h(z)}{g(z)}$ es continua en $\Bbb{C\setminus\{0\}}$ .

Ahora, para comprobar si $f$ es continua en $0$ necesitamos probar o refutar que

$$\lim_{z\to 0}f(z)=f(0)=0$$

Para ayudarnos en este caso, es útil el siguiente lema:

Lema. Dejemos que $f, g\in H(D(z_o;r))$ con $r>0$ . Supongamos que $$\lim_{z\to z_0}f(z)=\lim_{z\to z_0}g(z)=0$$ y $$\lim_{z\to z_0}\frac{f'(z)}{g'(z)}=\lambda$$ Entonces $$\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\lambda$$

Prueba. $$\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\cdot\frac{z-z_0}{g(z)-g(z_0)}=\frac{f'(z_0)}{g'(z_0)}=\lambda.$$

Las funciones $h(z)$ y $g(z)$ definidos antes satisfacen la hipótesis del lema, por lo que

$$\lim_{z\to 0}f(z)=\lim_{z\to 0}\frac{h(z)}{g(z)}=\lim_{z\to 0}\frac{h'(z)}{g'(z)}=\lim_{z\to 0}\frac{e^z}{1}=e^0=1$$

Pero $$1=\lim_{z\to z_0}f(z)\neq f(0)=0$$ Así que $f$ no es continuo en $z=0$ y, por tanto, el mayor subconjunto de $\Bbb{C}$ en la que es continua es $\Bbb{C}\setminus\{0\}$ .