Considere $$\sum_{m = 1}^\infty \frac{mx^m}{1 - x^{2m}}.$$ ¿Alguien sabe cómo evaluar estas series de tipo Lambert en términos finitos? El lado derecho está relacionado con $$\sum_{m = 1}^\infty \frac{x^m}{1 - x^{2m}} = L(x) - L(x^2),$$ donde $$L(x) = \sum_{m = 1}^\infty \frac{x^m}{1 - x^m}.$$ Conozco una serie relacionada $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{q^n}{1 + q^n}$$ puede expresarse en términos de la función theta de Jacobi $\vartheta_3(q)$ como $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{q^n}{1 + q^{2n}} = \frac{\vartheta_3(q)^2 - 1}{4},$$ pero no consigo relacionar la serie en cuestión con nada conocido para expresarla en términos finitos por así decirlo. Soy consciente de que $L(x)$ puede expresarse en términos de $q$ -Función poligama, pero no creo que se pueda expresar en términos finitos.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La serie Lambert $$A(x) := \sum_{m = 1}^\infty \frac{mx^m}{1 - x^{2m}}$$ es la función generadora de la secuencia A002131 . Consulte el enlace de la OEIS para obtener más información. Una fórmula similar a su $L(x)$ fórmula es $$A(x) = (P(x^2) - P(x))/24$$ donde $P(x)$ es una serie de Ramanujan Eisenstein-Lambert, la función generadora de la secuencia A006352 . Conozco otras expresiones, pero esto debería ser suficiente.
La función, digamos $f(x) $ de su pregunta está relacionada con la de Ramanujan $P$ función dada por $$P(q) =1-24\sum_{i=1}^{\infty}\frac{iq^{i}} {1-q^{i}}\tag{1}$$ a través de $f(q) =(P(q^{2})-P(q))/24$ . Si $0<q<1$ entonces lo anterior se puede evaluar en términos de funciones theta e integrales elípticas. Así, utilizando las funciones theta de Jacobi $$\vartheta_{2}(q)=2q^{1/4}\sum_{i=0}^{\infty}q^{i(i+1)},\vartheta_{3}(q)=1+2\sum_{i=1}^{\infty}q^{i^{2}}\tag{2}$$ obtenemos el módulo $k$ y las integrales elípticas completas $K(k) , E(k)$ como $$k=\frac{\vartheta_{2}^{2}(q)}{\vartheta_{3}^{2}(q)}, K(k) =\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}x}} = \frac{\pi} {2}\vartheta_{3}^{2}(q),\notag\\ E(k) =\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-k^{2}\sin^{2}x}\,dx\tag{3}$$ y tenemos las siguientes fórmulas : \begin{align} P(q) & =\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^{2}\left(\frac{6E(k)}{K(k)}+k^{2}-5\right)\tag{4}\\ P(-q) & =\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^{2}\left(\frac{6E(k)}{K(k)}+4k^{2}-5\right)\tag{5}\\ P(q^{2})&=\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^{2}\left(\frac{3E(k)}{K(k)}+k^{2}-2\right) \tag{6} \end{align}
Existen algoritmos eficientes para evaluar $K(k), E(k) $ a partir del valor de $k$ utilizando la media aritmética-geométrica. No creo que haya formas cerradas que no impliquen funciones theta / integrales elípticas.
Actualización : BTW Ramanujan demostró que si $q=e^{-\pi\sqrt{n}} $ donde $n$ es un número racional positivo, entonces $$P(q) +\frac{6}{\log q} =\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^{2}\cdot A(n)\tag{7} $$ donde $A(n) $ es un número algebraico que depende del número racional $n$ . Y además si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces $K(k) $ puede expresarse en términos de $\Gamma (1/4), \pi$ y ciertos números algebraicos. Por lo tanto, la función en su pregunta tiene una forma cerrada finita en términos de $\pi, \Gamma(1/4)$ y ciertos números algebraicos para un rango de valores especiales de $q$ . Sin embargo, esto es más fácil de decir que de hacer y es muy difícil evaluar los números algebraicos deseados. Ramanujan era un maestro de estos cálculos y el enfoque moderno de estos cálculos se basa en programas informáticos como Maple, Mathematica y Macsyma.
Más información : S. Chowla y A. Selberg demostraron que las integrales elípticas $K, E$ puede expresarse en forma cerrada utilizando los valores Gamma y $\pi$ si $n$ es un racional positivo. Este resultado parece ser más difícil de establecer que todos los resultados mencionados anteriormente en mi respuesta. Así, para todos los valores de $q$ de la forma $q=e^{-\pi\sqrt{n}}$ con $n$ un racional positivo su suma tiene una forma cerrada en términos de valores Gamma, $\pi$ y ciertos números algebraicos.
