El criterio de Descartes

Question

Demuestre que el criterio de Descartes es correcto. El criterio de Descartes: Si $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$ tiene una raíz racional $x = s/t$ , donde $s$ y $t$ son relativamente primos, entonces t divide a $a_n$ y $s$ divide $a_0$ .

La sugerencia dice que debo factorizar $a_n$ y $a_0$ para obtener todos los valores posibles de $s/t$ y sustituir para encontrar cuál, si es que hay alguna, es una raíz. Pero creo que esta pista sólo funciona para polinomios específicos, no para demostrar la afirmación general.

Answer 1

Parece que tu insinuación se refiere más a cómo aplicar el criterio de Descartes que a cómo demostrar que es válido. He aquí una aproximación a esto último: supongamos $\frac{s}{t}$ es una raíz de nuestro polinomio $A(x)=a_nx^n+...+a_0,$ y digamos que hemos expresado la raíz en términos más bajos, así $s$ y $t$ no tienen factores comunes.

Así que $$a_n\frac{s^n}{t^n}+a_{n-1}\frac{s^{n-1}}{t^{n-1}}+...+a_0=0$$ Ahora multiplique por $t^n$ y obtenemos $a_ns^n+a_{n-1}ts^{n-1}...+a_1st^{n-1}+a_0t^n=0$ . A partir de aquí deberías ser capaz de argumentar que $s$ y $t$ deben dividir el lado izquierdo y por lo tanto $a_n$ y $a_0$ respectivamente, como se desee. ¿Ve usted cómo hacerlo?