Los valores propios de la matriz simétrica real deben aparecer en pares con signo

Question

Qué condición, si es que hay alguna, puede decirse de una matriz simétrica real para que todos sus valores propios aparezcan en pares con signo opuesto pero con la misma magnitud, es decir, si $\lambda$ es un valor propio de A, entonces $-\lambda$ debe ser también un valor propio de A?

Answer 1

He aquí algunas condiciones necesarias y suficientes:

• $A$ es $n\times n$ para algunos incluso $n$ y tiene la forma de Jordan $\lambda_1D\oplus\lambda_2D\oplus\cdots\lambda_{n/2}D$ , donde $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_{n/2}$ son números reales no nulos y $D=\operatorname{diag}(1,-1)$ . Por lo tanto, su polinomio característico es $\prod_{k=1}^{n/2}(x^2-\lambda_k^2)$ .
• $A$ es no singular y similar a $-A$ .
• $A$ es similar a una matriz de bloques de la forma $\begin{pmatrix}0&B\\ B&0\end{pmatrix}$ donde $B$ es no singular y simétrica real.
• $A$ es similar a una matriz de bloques de la forma $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&-B\end{pmatrix}$ donde $B$ es no singular y simétrica real.

En cuanto a las condiciones necesarias, hay tres obvias $A$ es sin rastro, $A$ es no singular y $A$ tiene un orden par.

Answer 2

A ver si podemos desarrollar el comentario tan bonito de Tapu.

Si observamos el caso de 2x2 para matrices simétricas reales, tenemos:

$$\begin{bmatrix}a & b \\ b & d\end{bmatrix}$$

Escribir y resolver el polinomio característico de $|A -\lambda I|=0$ y resolviendo para los valores propios, obtenemos:

$$\displaystyle \lambda_1 = \frac{1}{2} (-\sqrt{a^2-2 a d+4 b^2+d^2}+a+d)$$

$$\displaystyle \lambda_2 = \frac{1}{2} (+\sqrt{a^2-2 a d+4 b^2+d^2}+a+d)$$

Queremos que la condición $\lambda_1 = \lambda_2$ .

Para ello, obtenemos $b = 0 ~\text{and}~ a = d$ . Sin embargo, tenemos la condición añadida de que queremos que los valores propios sean de signo contrario, por lo que configuraremos la matriz simétrica real como

$$\begin{bmatrix}d & 0 \\ 0 & -d\end{bmatrix}$$

¿Qué notas en el triángulo inferior y superior? ¿Qué notas en el trazo? ¿Qué observas en el polinomio característico?

Utilizando estas observaciones, veamos si podemos escribir el $4x4$ caso y si esto se generaliza.

$$\begin{bmatrix}a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -b\end{bmatrix}$$

Es simétrico real. El triángulo superior e inferior es cero. El polinomio característico es $(a-\lambda) (a+\lambda) (b-\lambda) (b+\lambda)$ Es decir $(\lambda^2 -a^2)(\lambda^2-b^2)$ por lo que obtenemos los valores propios como $\pm a, \pm b$ . Mira el trazado de nuestra matriz de nuevo.

Ahora, ¿puedes utilizar estas observaciones y elaborar un argumento para el caso general?