Trazado condicional que preserva la expectativa del centro

Question

En el contexto de las álgebras de von Neumann finitas, veo muchos resultados que implican la elección de un estado tracial normal fiel $\tau$ . Por ejemplo, la representación estándar $L^2(R, \tau)$ de un álgebra de von Neumann finita $R$ se utiliza a menudo para demostrar resultados sobre $R$ que son independientes de la elección del estado $\tau$ . Cada vez que veo una afirmación de este tipo me causa cierta incomodidad que expreso a continuación.

1. En lugar de hacer una elección de estado $\tau$ que finalmente resulta ser inmaterial, ¿no debería haber una forma de trabajar con la traza única fiel y normal de valor central $Tr$ directamente en tales argumentos? Por la propiedad universal del "rastro", cualquier estado tracial debe ser un factor de composición de $Tr$ y un estado tracial en el centro $Z$ . Si el centro no es separable, entonces puede que no haya ningún estado tracial normal fiel, pero las pruebas de tipo universal seguirían pasando. Mi opinión es que en lugar de la construcción GNS para $\tau$ que da lugar a la representación estándar, uno puede tener que lidiar con $Z$ -construcciones modulares basadas en la construcción KSGNS para $Tr$ . ¿Podría alguien indicarme referencias que hablen de esto?
2. Es bien sabido que para una subálgebra de von Neumann $S$ de $R$ hay un único $\tau$ -preservando la expectativa condicional normal de $R$ en $S$ . ¿Puede decirse lo mismo de $Tr$ ?

Gracias.

Answer 1

Respuesta a la 2: No. He aquí un ejemplo en el que la existencia falla:

Dejemos que $M$ sea un factor finito con estado tracial $\tau$ . Sea $R = M \oplus M$ . Entonces la traza con valor central viene dada por $Tr(x,y) = (\tau(x),\tau(y))$ .

Dejemos que $S = \mathbb{C}\cdot1_{M\oplus M}$ . Cualquier expectativa condicional $\mathbb{E}: R \rightarrow S$ de $R$ en $S$ debe ser otorgado por un Estado $\varphi: M \oplus M \rightarrow \mathbb{C}$ .

Así que $$Tr\circ \mathbb{E} (x,y) = \left(\varphi(x,y), \varphi(x,y)\right).$$ Así, $Tr \circ \mathbb{E} \neq Tr$ .

Esto se debe, en última instancia, a que $R$ y $S$ tienen centros diferentes. Podría tener sentido hacer su pregunta con la suposición añadida de que $R$ y $S$ tienen el mismo centro.