Cálculo del coseno hiperbólico como serie

Question

Así que quiero demostrarlo: $$\sum_{x=0}^\infty \frac{\lambda^{2x}}{(2x)!}=\cosh(\lambda)$$

Pero, procediendo hacia atrás, lo único que sé es que $$\cosh(\lambda)=\frac{e^{\lambda}+e^{-\lambda}}{2}=\sum_{x=0}^\infty \frac{\lambda^x}{2(x!)}+\sum_{x=0}^\infty \frac{(-\lambda)^x}{2(x!)}$$

Y me quedé atascado aquí, ¿alguna idea?

Answer 1

Se puede observar que $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n}{2(n!)}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-\lambda)^n}{2(n!)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1+(-1)^n}{2}\frac{\lambda^n}{n!}=\sum_{p=0}^\infty\frac{1+(-1)^{2p}}{2}\frac{\lambda^{2p}}{(2p)!}=\sum_{p=0}^\infty\frac{\lambda^{2p}}{(2p)!} $$ desde $$ \frac{1+(-1)^{2p+1}}2=0,\qquad \quad p=0,1,2,\cdots. $$

Answer 2

$$ \begin{array}{cccccccccc} & \left(1\vphantom{\dfrac{\lambda^3} 6}\right. & + & \lambda & + & \dfrac{\lambda^2} 1 & + & \dfrac{\lambda^3} 6 & + & \dfrac{\lambda^4}{24} & + & \dfrac{\lambda^5}{120} & + & \cdots \\[10pt] + & 1 & - & \lambda & + & \dfrac{\lambda^2} 1 & - & \dfrac{\lambda^3} 6 & + & \dfrac{\lambda^4}{24} & - & \dfrac{\lambda^5}{120} & + & \left. \cdots \vphantom{\dfrac{\lambda^3} 6} \right) \\[10pt] \hline = & 2\left( 1 \vphantom{\dfrac{\lambda^3} 6}\right. & & & + & \dfrac{\lambda^2} 2 & & & + & \dfrac{\lambda^4}{24} & & & + & \left. \cdots \vphantom{\dfrac{\lambda^3} 6} \right) \end{array} $$ Los términos de la numeración impar se anulan.