¿Qué contribuye más al aumento del valor de una exponenciación: el aumento de la base o del exponente?

Question

En primer lugar, mis disculpas por ser un programador metido en el terreno de las matemáticas.

Me preguntaba si el valor de una exponenciación se incrementa más con un aumento de la base o del exponente (creo que es una especie de límite?), y cómo depende esto de los valores concretos de la base y el exponente. Escribí un programa que, dada una base, calcula el valor del exponente tal que un aumento igual en cualquiera de los dos resulta en el mismo valor final para la exponenciación.

def binary_search(under, over, isOver):
    while abs(under-over)>0.00000000001:
        #print under, over
        middle= (under+over)/2
        if isOver(middle):
            over= middle
        else:
            under=middle
    return under

base= 2
small=0.000000000000001
for base in range(2,10):
    base= float(base)
    print binary_search(0.0,100.0, lambda x: (base+small)**x>base**(x+small))

Para las bases de 2 a 10, estos son los resultados:

1.87390832634
3.44985378173
6.11740351597
16.0
16.0
16.0
16.0
16.0

Ahora, obviamente, no sé lo que estoy haciendo. Sólo quería saber si hay algún significado en la convergencia a 16 o simplemente estoy haciendo algo horriblemente mal (parece probable).

Answer 1

Sospecho que te encuentras con imprecisiones de punto flotante. ¿Con qué precisión representa tu sistema números como 50.000000000000001? No debería ser necesario trabajar con un valor tan pequeño de "small".

En cualquier caso, lo que se busca es esto: Dado un valor $b$ a qué valor de $exp$ son las derivadas parciales de la función $f(base,exp)=base^{exp}$ iguales entre sí, dado que las derivadas se evalúan en $base=b$ .

La derivada parcial de $f$ con respecto a $base$ (que es la tasa de incremento de $f$ por aumento del valor de $base$ ) es $base^{exp-1}\cdot exp$ y el parcial con respecto a $exp$ (que es la tasa de incremento de $f$ por aumento del valor de $base$ ) es $base^{exp}\ln(base)$ . Dado $base=b$ son iguales cuando $x=b\ln(b)$ .

Los valores que creo que deberías haber obtenido para las bases 2 a 10 son 1,38629, 3,29584, 5,54518, 8,04719, 10,7506, 13,6214, 16,6355, 19,775 y 23,0259. (Gracias, Mathematica.)

Si comparas $4^{5.54518+.001}$ y $(4+.001)^{5.54518}$ se encontrará con que están más cerca entre sí que $4^{6.11740+.001}$ y $(4+.001)^{6.11740}$ (utilizando la respuesta obtenida).