Conceptualización del mapa de inclusión de la figura ocho al toroide

Question

Tengo algunas dificultades para entender este asunto: Tengo un mapa de inclusión $i : S^1 \vee S^1 \hookrightarrow S^1 \times S^1$ . Se trata, pues, de un mapa de inclusión de la figura del ocho al toro. Si el círculo más a la izquierda de la figura de ocho se llama $b$ y el círculo de la derecha se llama $a$ entonces $i(b)$ es el círculo que comprende el centro del toroide y $i(a)$ corresponde a un círculo longitudinal del toro.

Me planteo cuatro cuestiones relativas a este mapa de inclusión.

1. La primera es, ¿Es $i_*: \pi_1(S^1 \vee S^1) \to \pi_1(S^1 \times S^1)$ ¿Inyectiva? Mi intuición es que no, no es inyectiva porque $\pi_1(S^1 \vee S^1) = \mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ el grupo libre sobre dos generadores y $\pi_1 (S^1 \times S^1) = \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ . Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea realmente cierto y estoy tratando de averiguar la mejor manera de demostrarlo.

2. Es $i_*$ ¿subjetivo? Mi intuición es que no es sobreyectiva, pero no estoy seguro de mi intuición en esto. ¿Cuál sería la mejor manera de intentar demostrar o refutar la subjetividad de $i_*$ ?

3. En $i$ ¿el mapa de inclusión original de la figura del ocho al toro, tiene una retracción hacia atrás? Yo creo que no. Tengo entendido que existe una retracción desde el toro perforado hasta la figura de ocho, pero no creo que exista una retracción desde $S^1 \times S^1$ a $S^1 \vee S^1$ . ¿Esta interpretación es correcta? ¿Cuál sería la mejor manera de demostrarlo?

4. Por último, es $i$ ¿una equivalencia de homotopía? Mi intuición es que $i$ no es una equivalencia homotópica porque tengo problemas para visualizar una deformación continua del toro en la figura y viceversa. El toro tiene un entero y la figura del ocho tiene dos. Sin embargo, no sé si mi intuición es correcta en este caso. ¿Cómo se puede demostrar esto?

Gracias por toda la ayuda.

Answer 1

En cuanto a la 1:

Consideremos un homomorfismo $f: \mathbb{Z} \ast \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ . Si $a$ y $b$ son los generadores de $\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}$ entonces considere lo que $ab$ y $ba$ mapa a:

$f(ab) = f(a)f(b) = f(b) f(a) = f(ba)$

Donde la segunda igualdad se mantiene porque $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ es conmutativo. Pero $ab \neq ba$ Por lo tanto $f$ no es inyectiva.

En cuanto a la 2:

Considere cualquier $(n, m) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ . A continuación, observe que $i_\ast (a^n b^m ) = i_\ast (a^n) i_\ast (b^m) = n i_\ast (a) m i_\ast (b) = n (1,0) + m (0,1) = (n,m)$ . Así que $i_\ast$ es suryente.

En cuanto a la 3:

Existe un teorema como el siguiente (Hatcher, página 36):

Si un espacio $X$ se retrae en un subespacio $A$ entonces el homomorfismo $i_\ast : \pi_1(A, x_0)\to \pi_1(X, x_0)$ inducido por la inclusión $i : A \hookrightarrow X$ es inyectiva. Si $A$ es una deformación retraída de $X$ entonces $i_\ast$ es un isomorfismo.

En la 1 demostró que $i_\ast$ no es inyectiva por lo que (por contraposición) se obtiene que $S^1 \times S^1$ no se repliega sobre $S^1 \vee S^1$ .

En cuanto a la 4:

Hay otro teorema (Hatcher página 46):

Si $\varphi : X \to Y$ es una equivalencia homotópica, entonces el homomorfismo inducido $\varphi_\ast :\pi_1(X,x_0)\to \pi_1 (Y,\varphi(x_0))$ es un isomorfismo para todo $x \in X$ .

Sabes que el homomorfismo inducido no es inyectivo por lo que no puede ser un isomorfismo y por lo tanto $i_\ast$ no puede ser una equivalencia homotópica.

Answer 2

Escoge un punto en el toroide, y considera los dos círculos que pasan por el punto, uno va "verticalmente" y el otro "horizontalmente" (haz un dibujo). el mapa de inclusión no es un isomorfismo pero es suryectivo. el núcleo está generado por el conmutador de los dos bucles. intenta dibujar el cuadrado estándar con los lados identificados (la parte superior e inferior uno de los bucles generadores, los lados izquierdo y derecho el otro, las cuatro esquinas nuestro punto base) para ver que el conmutador es trivial (el "cuadrado" es básicamente la homotopía de $aba^{-1}b^{-1}$ al mapa constante). los espacios no son homotópicos ya que tienen invariantes diferentes, a saber $\pi_1$ como usted ha señalado.