Supongamos que (X, A) tiene HEP y A es cerrado en X. Sea f : A Y un mapa continuo cualquiera. Sea W el espacio cociente de XY dado por la identificación de cada a A con f(a) Y.
Me pregunto cómo entender allí el espacio cociente, qué es la relación de equivalencia y la clase de equivalencia. Además, ¿podemos demostrar que Y es cerrado en W?
Me pregunto cómo se entiende allí el espacio cociente, qué es la relación de equivalencia y la clase de equivalencia.
La construcción a la que se refiere se conoce como espacio de adición .
La relación de equivalencia en la unión disjunta $X\sqcup Y$ es generado por $a\sim f(a)$ si $a\in A$ (y por lo tanto $f(a)\in Y$ ). Lo que significa que es la relación de equivalencia más pequeña (en el sentido de inclusión) que contiene $a\sim f(a)$ para todos $a\in A$ . En particular, si $f$ es inyectiva entonces sólo tenemos $a\sim f(a)$ (y $f(a)\sim a$ por simetría). Pero si $f$ no es inyectiva, entonces la relación es mayor: $x\sim y$ siempre que $f(x)=f(y)$ . Esto se puede combinar para:
En otras palabras, tomamos $X$ y pegar su subespacio $A$ a la imagen de $f$ . La forma de hacer el encolado viene dada por $f$ .
Ejemplo 1. Considere $X=Y=[0,1]$ y $A=\{0,1\}$ . Toma $f:A\to Y$ dado por $f(0)=0$ y $f(1)=1$ . Así que pegamos los extremos de $X$ a los extremos de $Y$ . El espacio resultante es un círculo.
Ejemplo 2. Considere $X=Y=[0,1]^2$ , $A=\{0,1\}\times[0,1]$ . Definir $f:A\to Y$ de la siguiente manera: $f(0,t)=(0,t)$ y $f(1,t)=(1,-t)$ . Así que pegamos el borde izquierdo de $[0,1]^2$ a sí mismo directamente, mientras que pegamos el borde derecho a sí mismo invirtiendo la dirección. El espacio resultante es la banda de Möbius.
Ejemplo 3. Dejemos que $X=(-\infty,0]\cup [1,\infty)$ , $A=\{0,1\}$ y $Y=[0,1]$ . Sea $f:A\to Y$ sea dada por $f(0)=0$ y $f(1)=1$ . Así que simplemente añadimos el intervalo que falta en $X$ . El espacio resultante es $\mathbb{R}$ .
Ejemplo 4 ( $f$ asuntos). La misma configuración que en $3$ : Dejemos que $X=(-\infty,0]\cup [1,\infty)$ , $A=\{0,1\}$ y $Y=[0,1]$ . Pero ahora dejemos $f:A\to Y$ sea dada por $f(0)=f(1)=1$ . El espacio resultante es una unión disjunta de dos objetos: el primero es un $(-\infty,0]$ línea mientras que la otra es $[1,\infty)$ línea con un círculo unido a $1$ (también conocido como piruleta).
Además, podemos demostrar que Y es cerrado en W.
Así que, en primer lugar, hay que tener en cuenta que la HEP es irrelevante en este caso. Y también $A$ no tiene que estar cerrado para que la construcción funcione. Sin embargo, si $A$ está cerrado, entonces $Y$ se cierra en el cociente, que puedes encontrar aquí: Propiedades de un mapa (mapa de adjunción) al espacio de adjunción
Usted considera que el espacio de adición $Y \sqcup_f X$ (también escrito como $Y \cup_f X$ ). Esta construcción funciona para los pares de arbitraje $(X,A)$ no es necesario asumir que $(X,A)$ tiene el HEP o que $A$ está cerrado en $X$ .
Comienza con la unión disjunta $D = X \coprod Y$ y definir una relación $\sim$ en $D$ por $$a \sim f(a) \text{ for all } a \in A .$$ Esto significa "identificar cada $a A$ con $f(a) Y$ ". La relación anterior $\sim$ genera un relación de equivalencia en $D$ que volvemos a denotar por $\sim$ . ¿Qué significa esto? Formalmente una relación sobre un conjunto $M$ es un subconjunto $R \subset M \times M$ . Una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva $E$ . Esto significa que
$(x,x) \in E$ para todos $x \in M$ .
Si $(x,y) \in E$ entonces también $(y,x) \in E$ .
Si $(x,y) \in E$ y $(y,z) \in E$ entonces también $(x,z) \in E$ .
Dada cualquier relación $R$ en $M$ El relación de equivalencia generada por $R$ se define como la relación de equivalencia más pequeña que contiene $R$ . Técnicamente es la intersección de todas las relaciones de equivalencia en $M$ que contiene $R$ . Es fácil ver que esta intersección es una relación de equivalencia (y por tanto, por definición, la menor relación de equivalencia que contiene $R$ ).
En el caso anterior se puede comprobar fácilmente que $d \sim d'$ si se cumple una de las siguientes condiciones:
$d, d' \in A$ y $f(d) = f(d')$
$d, d' \in X \setminus A$ y $d = d'$
$d, d' \in Y$ y $d = d'$
$d \in A, d' \in Y$ y $f(d) = d'$
$d \in Y, d' \in A$ y $f(d') = d$
Así, las clases de equivalencia en $X \sqcup_f X = D/\sim$ son
los solteros $\{x\}$ con $x \in X \setminus A$
los solteros $\{y\}$ con $y \in Y \setminus f(A)$
los conjuntos $\{ f^{-1}(y) \coprod \{y\}$ con $y \in f(A)$
En otras palabras, $\sim$ colapsa los conjuntos $\{ f^{-1}(y) \coprod \{y\} \subset D$ a los puntos y deja todo lo demás sin cambiar.
El mapa de cociente $p: D \to Y \sqcup_f X$ induce la topología del cociente en $Y \sqcup_f X$ . La función $i : Y \to X \sqcup_f X, i(y) = p(y)$ es trivialmente continua (ya que $Y \to D = X \coprod Y, y \mapsto y$ es continua). Es evidente que también es inyectiva. Además, es una incrustación. Para ver esto, tenemos que demostrar que la imagen $i(U)$ de cada uno abierto $U \subset Y$ está abierto en el subespacio $i(Y) \subset Y \sqcup_f X$ :
$f^{-1}(U)$ está abierto en $A$ ; elija una opción abierta $V \subset X$ tal que $V \cap A = f^{-1}(U)$ . Entonces $V \coprod U$ está abierto en $D$ y $p(V \coprod U)$ está abierto en $Y \sqcup_f X$ (porque $p^{-1}(p(V \coprod U)= V \coprod U$ ). Pero $p(V \coprod U) \cap i(Y) = i(U)$ .
Observemos finalmente que $i(Y)$ está cerrado en $Y \sqcup_f X$ si $A$ está cerrado en $X$ porque $p^{-1}(i(Y)) = A \coprod Y$ que está cerrado en $D$ .
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