Prueba de que un triángulo esférico es congruente con su dual

Question

Actualmente estoy estudiando geometría esférica y me encontré con un problema de ejercicio que me cuesta entender.

El libro define primero un triángulo esférico dual $\triangle^* ABC$ del original $\triangle ABC$ para ser definido por los tres puntos:

$$\begin{align} A^* & = \dfrac{B \times C}{\sin{(a)}} \\ B^* & = \dfrac{C \times A}{\sin{(b)}} \\ C^* & = \dfrac{A \times B}{\sin{(c)}} \end{align}$$

Si los lados opuestos de cada punto se llamaran $a^*$ , $b^*$ , $c^*$ entonces se cumple el siguiente teorema:

$\triangle ABC$ y $\triangle^* ABC$ son congruentes, y por lo tanto:

$$A = \pm \dfrac{B^* \times C^*}{\sin{(a^*)}} \quad B = \pm \dfrac{C^* \times A^*}{\sin{(b^*)}} \quad C = \pm \dfrac{A^* \times B^*}{\sin{(C^*)}}$$

Prueba :

Demostramos que $B^* \times C^*$ y $A$ son paralelos (es decir $B^* \times C^* \parallel (C \times A) \times (A \times B)$ ) utilizando el triple producto vectorial (también conocido como fórmula de Lagrange):

$$(C \times A) \times (A \times B) = \langle C \times A, B \rangle A - \langle C \times A, A \rangle B = \text{det}(A, B, C) A$$

lo que implica que el vector es paralelo a $A$ y podemos escribir:

$$A = \pm \dfrac{B^* \times C^*}{\sin{(a^*)}}$$

Las dos partes principales con las que estoy teniendo problemas es la comprensión del teorema de congruencia en sí y la demostración.

1. ¿Cómo es que $A = \pm \frac{B^* \times C^*}{\sin(a^*)}$ ¿implica congruencia? ¿De dónde viene?
2. En la prueba, ¿cómo se pasó del triple producto al determinante (supongo)? Y la prueba es $(C \times A) \times (A \times B) \parallel A$ lo suficiente como para escribir $A = \pm \frac{B^* \times C^*}{\sin(a^*)}$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, observe que su definición de $B^*$ se equivoca: Uno tiene que escribir $B^* = \frac{C \times A}{\sin(b)}$ porque al final, uno quisiera terminar con tres veces el mismo signo en el enunciado del Teorema (es decir, $A = \pm A^*$ , $B = \pm B^*$ , $C = \pm C^*$ donde todos los signos son iguales).

Ahora, eso $\Delta ABC$ y $\Delta^* ABC$ son congruentes no es correcto. De hecho, lo que dice el Teorema es que el triángulo dual del triángulo dual es el triángulo original (o el antipodal, si tiene signo negativo). Así que $\Delta ABC$ y $\Delta^{**} ABC$ son congruentes (ya que sus conjuntos de longitudes laterales coinciden).

Para ver que $\Delta ABC$ y $\Delta^* ABC$ no son siempre congruentes, denótese por $\alpha, \beta, \gamma$ los ángulos de $\Delta ABC$ (con la notación estándar), entonces se tiene

$$a^* = \sphericalangle(C \times A, A \times B) = \sphericalangle(-A \times C, A \times B) = \pi - \sphericalangle(A \times C, A \times B) = \pi - \alpha.$$

Para explicar el penúltimo signo de igualdad, ya que $-\cos(a) = \cos(\pi - a)$ para cualquier número real $a$ obtenemos

$$\cos(\pi - \sphericalangle (x,y)) = - \cos\sphericalangle(x,y) = -\frac{\langle x,y\rangle}{||x|| \cdot ||y||} = \frac{\langle -x,y\rangle}{||-x|| \cdot ||y||} = \cos\sphericalangle (-x,y)$$ para $x,y \in \mathbb R^3$ .

Del mismo modo, obtenemos que $b^* = \pi - \beta$ y $c^* = \pi - \gamma$ . Ahora bien, no es difícil encontrar ejemplos de triángulos tales que $\{a,b,c\} \neq \{a^*,b^*,c^*\}$ ; sólo hay que jugar un poco para encontrar algunos. Como los conjuntos de longitudes laterales de los triángulos congruentes deben ser iguales, vemos que $\Delta ABC$ y $\Delta^* ABC$ no siempre son congruentes.

A su segunda pregunta, se puede verificar la fórmula $$(x \times y) \times (w \times z) = z \cdot \det(x,y,w) - w \cdot \det(x,y,z)$$ para $x,y,z,w \in \mathbb R^3$ mediante un cálculo directo. Es un poco tedioso, pero un buen y fácil ejercicio.

Por último, si se tiene $(C \times A) \times (A \times B) \parallel A$ , uno tiene $B^* \times C^* \parallel A$ por definición de $B^*$ y $C^*$ . Dado que ambos $A$ y

$$\frac{B^* \times C^*}{||B^* \times C^*||} = \frac{B^* \times C^*}{\sin(a^*)}$$

se encuentran en la esfera unitaria en $\mathbb R^3$ las únicas posibilidades de que sean congruentes son $A = \pm \frac{B^* \times C^*}{\sin(a^*)}$ .