He buscado por todo este stackexchange antes de hacer esta pregunta. Simplemente no quiero ser penalizado por una pregunta repetida en caso de que haya una.
Tengo problemas para encontrar relaciones que sean
Para aclarar, estoy buscando tres relaciones diferentes.
Gracias de antemano.
CONSEJOS :
$(1)$ Una relación $R$ en $\mathbb R$ con $R=\{(a,b): a<b\}$ .
$(2)$ Una relación $R$ en $\mathbb R$ con $R=\{(a,b): a^3\geq b^3\}$ .
$(3)$ Mencionado en el comentario de @Fib1123. EDITAR : Si quieres otro ejemplo, toma un conjunto $A=\{a,b\} $ donde $a,b $ son distintos. Ahora tomemos una relación $R $ en $A $ con $R=\{(a,a)\} $ . Perdón por el ejemplo equivocado.
Su último ejemplo en $(3)$ no es transitiva ni simétrica, transitividad porque R carece de $(5, -5)$ (necesario para ser simétrico), y carece de $(-5, -5)$ , que necesitamos para la transitividad.( $(-5, -6 ) \in R$ y $(-6, -5))\in R$ pero $(-5, -5) \notin R$ . (Del mismo modo, tenemos $(-6, -5), (-5, -6) \in R$ pero $(-6, -6) \notin R$ . Por lo tanto, si exigiéramos tanto simetría como transitividad en A, entonces la relación también tendría que ser reflexiva. Si lo que quieres decir es que el último par ordenado de $R$ en (3) sea $(-5, -5),$ entonces la relación sería simétrica, pero no transitiva, ya que carece de $(-6,-6)$ .
Pero, aunque la relación es simétrica ahora, después de tu edición $\sim$ 40 minutos después de tu post, y 10 minutos de mi comentario, la relación que das por $R$ en $A$ sigue sin ser transitiva: $(-6, -5)\in R,$ y $(-5, -6) \in R$ pero $(-6, -6)\notin R$ . y así, como dije, la relación en este momento no es transitiva. Para hacerla transitiva, habría que añadir $(-6,-6)$ a $R$ después de lo cual, la relación también se convierte en reflexiva. Lo siento.
En resumen, tu respuesta era errónea en dos aspectos, en el momento de su aceptación. Desde entonces has hecho una edición para que la relación sea simétrica. La siguiente edición que hiciste (ya que la relación que elegiste para $(3)$ fallará), por favor indique que es una edición del post. Por ejemplo, debajo del cuerpo de su post incorrecto wrt $(3)$ usar: EDITAR para ser la cabecera de su tercer intento de crear una relación que satisfaga $(3)$ .
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¿Has comprobado math.stackexchange.com/questions/1592652/ ?
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Sí, lo hice. Estoy bastante seguro de que el número 2 no es posible, pero no estoy 100% seguro. Probablemente debería añadir eso a mi pregunta.
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Para 2, tomemos como conjunto base {a, b, c} y la relación {(a,a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)}. Es "reflexiva" y "transitiva", pero no "simétrica".
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Véase también [esta pregunta sobre la relación vacía, que es bot transitiva y simétrica, pero no reflexiva]( math.stackexchange.com/questions/1081333/