Cómo calcular las raíces complejas de un polinomio

Question

Calcula todas las raíces complejas del polinomio: $8t^{4} -20t^{3} -10t^{2}-5t-3$ .

Así que gracias a matlab, puedo averiguar fácilmente que las raíces son $t = 3, -0.5, \pm 0.5i$ . Por desgracia, conseguir esta respuesta a mano ha sido más difícil. Aparentemente, un método válido es intentar adivinar una de las raíces y luego utilizarla para dividir el polinomio. He podido comprobar que esto da como resultado $(x-3)(x+\frac{1}{2})(8x^{2}+2)$ . Sin embargo, incluso con la prueba de las raíces racionales y la división sintética, la parte de "adivinar" del proceso me resulta poco atractiva.

Me encontré con otro método que parecía más prometedor: crear una matriz de este tipo $\left( \begin{array}{cccc} -\frac{5}{3} & -\frac{10}{3} & -\frac{20}{3} & \frac{8}{3} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\0 &1 &0 &0 \\ 0&0&1&0 \end{array} \right)$ , determinando los valores propios, y calculando el recíproco de cada valor propio. Cuando intento utilizar este método, obtengo $\lambda^{4} + \frac{5}{3} \lambda^{3} + \frac{10}{3}\lambda^{2} + \frac{20}{3}\lambda -\frac{8}{3}$ (confirmado con matlab). Sin embargo, no parece que la situación haya mejorado mucho, ya que me encuentro con el mismo problema de cálculo de raíces de otro polinomio de grado $4$ ¿cierto? ¿Debo esperar a resolver eventualmente para $\lambda$ si aplico el método una vez más (al nuevo polinomio)?

En general, ¿hay problemas evidentes con mi comprensión de los dos enfoques anteriores? ¿Alguien recomendaría (teniendo en cuenta mi nivel aproximado) utilizar otro método en su lugar?

Answer 1

El método matricial no simplifica el asunto en absoluto (a menos que tengas un bloqueo mental sobre los polinomios pero te sientas realmente cómodo con las matrices; o a menos que tengas algún método realmente genial para encontrar los valores propios que no dependa del polinomio característico).

No sólo se obtiene un polinomio de grado $4$ , tienes ¡esencialmente el mismo polinomio con el que empezaste! Para ver esto, dejemos $p(t)$ sea su polinomio original, y que $q(\lambda)$ sea el polinomio característico que has encontrado. Entonces tienes: \begin{align*} -3q(\lambda) &= -3\lambda^4 - 5\lambda^3 -10\lambda^2 -20\lambda + 8\\ &= \lambda^4\left(-3 -5\left(\frac{1}{\lambda}\right) - 10\left(\frac{1}{\lambda^2}\right) - 20\left(\frac{1}{\lambda^3}\right) + 8\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)\right)\\ &= \lambda^4p\left(\frac{1}{\lambda}\right) \end{align*}

Esto significa que si $r$ es una raíz de $p(t)$ entonces $\frac{1}{r}$ es una raíz de $q(\lambda)$ (nota que $r=0$ no es una raíz) y a la inversa; así que encontrar las raíces del polinomio característico de la matriz es lo mismo que encontrar las raíces de su original $p(t)$ .

Esto ocurrirá siempre con este método: la matriz que se escribe es esencialmente la matriz de acompañamiento del polinomio original, por lo que el polinomio característico será esencialmente el polinomio original de nuevo (o tal vez una inversión de las potencias, como arriba). Pero para cualquier polinomio $p(x) = a_nx^n + \cdots +a_0$ con $a_na_0\neq 0$ las raíces de $p(x)$ y las raíces de $x^np(\frac{1}{x}) = a_n + a_{n-1}x + \cdots + a_0x^n$ son recíprocos entre sí, por lo que encontrar las raíces de la primera es esencialmente lo mismo que encontrar las raíces de la segunda.

Añadido: Como menciona Andrés y apunta Qiaochu, es posible que el cambio de perspectiva te permita aplicar más fácilmente ciertos algoritmos o teoremas acudiendo a la matriz en lugar de tratar con el polinomio directamente. Pero lo que quiero decir es que el método matricial sólo te permite un cambio de perspectiva más que una simplificación o un cambio esencial del problema. Cuando todo está dicho y hecho, se sigue tratando con el mismo polinomio.

El método de la raíz racional es bastante bueno para polinomios con coeficientes enteros relativamente pequeños; para polinomios de grado $3$ o $4$ siempre puedes probar las fórmulas por radicales (aunque pueden ser bastante molestas de utilizar). Hay otros algoritmos para encontrar, o al menos aproximar, raíces de polinomios; el enlace que da Qiaochu en los comentarios es un buen punto de partida.