Sugerencia para problemas del tipo teoría de Lebesgue/análisis funcional

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema, pero no estoy muy familiarizado con el análisis funcional. ¿Podrían decirme por dónde debo empezar? Gracias.

Dejemos que $f \in L^1(\mathbb{R})$ y definir $$f_n(x) = \frac{1}{n} \int_x^{x+n} f(t)\,dt.$$

Demuestra que $\|f_n\|_1 \leq \|f\|_1$ y $\|f_n-f\|_1 \to 0$ como $n \to 0$ .

Esto parece bastante intuitivo dado $f_n$ pero no tengo ni idea de por dónde empezar para demostrarlo formalmente. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Se trata de la convolución de $f$ con $$ \phi_n(x) = \frac{1}{n}\chi_{[-n,0]}(x). $$ Eso es, $$ (f\star\phi_n)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\phi_n(x-t)dt=\frac{1}{n}\int_{x}^{x+n}f(t)dt = f_n(x) $$ Por lo tanto, $\|f_n\|_1 \le \|f\|_1\|\phi_n\|_1 = \|f\|_1$ . Si $g \in \mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R})$ (es decir, con soporte compacto, infinitamente diferenciable,) entonces $$ \begin{align} \|f_n-f\|_1 & \le \|f\star\phi_n-g\star\phi_n\|_1+\|g\star\phi_n-g\|_1+\|g-f\|_1 \\ & \le \|f-g\|_1+\|g\star\phi_n-g\|_1+\|g-f\|_1 \\ & = 2\|f-g\|_1+\|g\star\phi_n-g\|_1 \end{align} $$ Elige primero $g\in\mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R})$ para que $\|f-g\|_1 < \epsilon/3$ y luego elegir $n$ para que $\|g\star\phi_n-g\|_1 < \epsilon/3$ .

Answer 2

Para la primera afirmación: como menciona Giovanni en los comentarios, hay que utilizar el teorema de Fubini, tras un cambio de variables. Tras el cambio de variable $y=x-t$ en la integral interna, se tiene

$$\|f_n\|_1= \int_{\mathbb R} \left| \frac1n \int_x^{x+n}f(t)\,dt\right|\, dx \leq \frac1n \int_{\mathbb R} \int_0^n |f(x-y)|\,dy\,dx, $$ y ahora por Fubini puedes intercambiar las integrales y obtener el resultado deseado (recuerda $L^1$ es invariable por traslación).

Para la segunda, intente utilizar la primera parte y teorema de convergencia dominada (tiene un $L^1$ dominante y puntual) para obtener la convergencia en $L^1$ (que es lo que se le pide que demuestre).