Supongamos que $\mu \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n \times n})$ es una medida de probabilidad sobre $\mathbb{R}^{n\times n}$ y $\mu_1(dx) \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n})$ es su primer marginal, y $\mu_2(dy \mid x)$ es un núcleo estocástico de $\mathbb{R}^{n}$ a $\mathcal{P}(\mathbb{R}^{n})$ . Entonces, $$ \mu(dx \times dy) = \mu_1(dx) \times \mu_2(dy \mid x) $$ se satisface.
Supongamos que $\nu_1 \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n})$ y $\nu_2 \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n})$ se dan medidas de probabilidad constantes e indenpendientes, y $$\nu(dx \times dy) := \nu_1(dx) \times \nu_2(dy).$$
Consideremos ahora la distancia de Wasserstein de orden 2, $$ W_2(\mu, \nu)^2 := \inf_{\eta \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n \times n \times 2})} \left\{ \int_{\mathbb{R}^{n \times n \times 2}} \Vert x-y\Vert^2 d\eta(x,y) \mid \Pi^1\eta = \mu, \Pi^2\eta = \nu \right\}, $$ donde $\Pi^i$ denota $i$ ª marginal. Lo que quiero saber es si la regla de la cadena (factorización) es válida para la distancia de Wasserstein, de modo que $$ W_2(\mu, \nu)^2 = W_2(\mu_1, \nu_1)^2 + \int_{\mathbb{R}^{n}} W_2(\mu_2, \nu_2)^2 d\mu_1(x). $$ Sé que esta propiedad es válida para la entropía relativa, pero ¿es cierta para la métrica de Wasserstein?
