Tengo problemas para resolver esta tarea:
Dejemos que $X:=C_b([0,\infty))$ sea el espacio de las funciones acotadas $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ equipado con la norma $\|f\|=\sup_{x\in[0,\infty)}|f(x)|$ .
Demuestre que existe un funcional lineal continuo $L:X\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $$Lf=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$$ para todos $f\in X$ para el que existe el límite del lado derecho.
Realmente no tengo ni idea de cómo hacer esto. Actualmente estoy estudiando para un examen y encontré esta tarea en un antiguo examen de 2013.
Básicamente tengo que encontrar una función continua $g:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $$\int_0^\infty f(x)g(x)dx=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$$ Esto significa que $g\in L^1([0,\infty))\cap C^0([0,\infty))$ . Pero no tengo ni idea de por dónde empezar.
Tal vez se podría encontrar primero un funcional en el subespacio $Y\subseteq X$ dado por $Y=\{f\in X: \|f\|\leq 1\}$ y luego extenderlo con Hahn Banach, ya que entonces para cualquier $f\in X$ podríamos usar $$Lf=\|f\|L\left(\frac{f}{\|f\|}\right)=\|f\|\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{\|f\|}=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$$ cualquier ayuda será muy apreciada.
