¿$ \sin: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ Es inyectiva?

Question

Yo estaba tratando de mostrar que $\sin(x)$ es distinto de cero para los números enteros $x$ distinto de cero y yo que pensaba que este resultado podría emerger como un corolario si me las arreglé para mostrar que el resultado en cuestión es verdadero.

Creo que es posible demostrar esto mirando el poder de expansión de la serie de $\sin(x)$, y suponiendo que no sabemos nada acerca de la existencia de $\pi$.

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Nota: En una versión anterior de este post la pregunta dice "bijective" en lugar de "inyectiva". Algunas de las respuestas que figuran a continuación han respondido a la primera versión de este post.

Answer 1

Recordar los siguientes hechos.

Hecho 1. $\sin t=0$ si y sólo si $t=k\pi$ algunos $k\in\Bbb Z$

Hecho 2. $\cos t=0$ si y sólo si $t=k\pi+\frac{\pi}{2}$ algunos $k\in\Bbb Z$

También, recordar la identidad $$ \pecado u-\sen v=2\,\cos\left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\left(\frac{u, v}{2}\right) $$

Por lo tanto $\sin u=\sin v$ si y sólo si $u+v=k\pi+\frac{\pi}{2}$ o $u-v=k\pi$ algunos $k\in\Bbb Z$. Pero los valores \begin{align*} k\pi+\frac{\pi}{2} && k\pi \end{align*} son necesariamente irracionales para distinto de cero $k\in\Bbb Z$. Por lo tanto $\sin u\neq\sin v$$u,v\in\Bbb Z$$u\neq v$.

Answer 2

Si y sólo si tiene $\sin m=\sin n$ $m=n+2k\pi$ o $m=\pi-n+2k\pi$ (para algún entero $k$.

En el primer caso, si $k\ne0$, consigue $\pi=(m-n)/(2k)$ es racional. En el segundo caso, $\pi=(m+n)/(2k+1)$.

$\pi$ Es irracional, la única posibilidad es $k=0$ y $m=n$.

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Usted no puede probar inyectabilidad sin el conocimiento que $\pi$ es irracional. De hecho, si $\pi=p/q$ $p$ y $q$ enteros positivos, entonces $\sin(p)=\sin(p+2q\pi)=\sin(3p)$, por lo que la función no sería inyectiva.

Answer 3

$ \mathbb{N} $ es contable y $ \mathbb{R} $ es incontable, por lo que nunca puede haber una biyección

Answer 4

No es biyectiva ya que no es sobreyectiva. No hay $x\in\mathbb N$ tal que $\sin(x)=2$.

Sin embargo, es cierto que $\sin(x)=0$ para un solo valor de $x\in\mathbb N$. Esto es porque

$$\forall x\in \mathbb R:\sin x = 0\iff x=k\pi$$

$k\in\mathbb N$, % y $k\pi\in\mathbb N\iff k=0$. De hecho, se puede ver esto porque si existe un $\mathbb N\ni k\neq0$, que $k\pi\in\mathbb N$, entonces el $k\pi=m$ $m\in\mathbb N$ y esto significa que el %#% $ #%

dos enteros $$\pi=\frac mk$.

En otras palabras, esto significa que $m,k$ es racional, algo que sabemos no es cierto.

Answer 5

Implica la biyectiva sobreyectiva e inyectiva. $\sin: \Bbb{N} \to \Bbb{R}$ no es sobreyectiva ya que $\sin(x) = 1 \implies x = \pi/2 + 2\pi n \notin \Bbb{N}$.