Calcular el número total de combinaciones posibles dadas dos variables

Question

Digamos que tengo una bolsa con canicas verdes y azules. A veces el número de canicas verdes/azules es diferente, ¿hay alguna fórmula que calcule cuántas combinaciones posibles puede sacar en orden? He encontrado una fórmula de permutación aquí: Fórmula de permutación

Así, por ejemplo, imagina que hay 2 verdes y 2 azules, entonces podría obtener GGBB, GBGB, GBBG, BGGB, BGBG y BBGG. ¿Hay alguna forma sencilla de generalizar esto? No he entendido cómo utilizar la fórmula que he enlazado.

No soy matemático, así que pido disculpas de antemano si he utilizado términos incorrectos.

Answer 1

Una forma de organizar las bolas verdes y azules es -

$\frac{\text{(Total no. of balls)!}}{\text{(Color repeating)!} \times \text{(Other color repeating)!} \times ...}$

Así que tenemos,

$\frac{4!}{2! \times 2!}$

Dividiendo por dos ya que tenemos idénticas bolas verdes y dos azules.

\= 6 maneras

Answer 2

La fórmula que has enlazado es para el caso en el que tienes una bolsa llena de canicas ordenadas, y estás interesado en el número de secuencias diferentes de una longitud fija que puedes extraer (por ejemplo $1234$ o $1543$ ).

Su problema (suponiendo que lo haya entendido bien) es equivalente a querer elegir $\#B$ ranuras fuera de $\#G+\#B$ para que entren las canicas azules (así que si tenemos $1$ azul y $3$ canicas verdes, la secuencia se determina sabiendo cuál de las $4$ posiciones que toma la canica azul, y poniendo verde en todas las demás; si tenemos $2$ azul y $2$ verde, necesitamos saber qué $2$ posiciones tienen canicas azules en ect).

La fórmula para ello es la siguiente combinación fórmula, $${\#B+\#G \choose \#B} = \frac{(\#B+\#G)!}{\#B!\ \#G!}.$$ La derivación de la fórmula funciona así:

En primer lugar, tratamos cada canica como si fuera diferente (por lo que podríamos tener canicas $B_1, B_2, B_3, G_1, G_2$ ), y contar de cuántas maneras podríamos ordenarlas. Si hay $n$ canicas, entonces tenemos $n$ diferentes opciones para la primera canica que sacamos; entonces tenemos $n-1$ opciones para la siguiente ya que hemos elegido una, y así sucesivamente. Para determinar cuántas opciones hay en total, multiplicamos el número de opciones en cada etapa. En este caso obtenemos $5!=5\times4\times3\times2\times1=120$ .

A continuación, dividimos por el número de formas diferentes en que podríamos ordenar las canicas azules, calculado como antes (ya que $B_1B_2B_3$ y $B_3B_2B_1$ son iguales para nuestros propósitos - cuando miramos los diferentes ordenamientos de las canicas azules, podría ser que las canicas verdes no existieran, así que las ignoramos). Del mismo modo, también dividimos por el número de formas de ordenar las canicas verdes. En este ejemplo, tenemos $3!=6$ formas de pedir canicas azules y $2!=2$ formas de ordenar las canicas verdes, dando un total de $10$ diferentes formas de pedir $3$ azul y $2$ canicas verdes.

Si tenemos más de $2$ colores, podemos aplicar el mismo principio; primero dar a cada canica una etiqueta diferente y calcular el número total de ordenamientos, y luego dividir por el número de formas de ordenar las canicas de cada color individual.