Producción óptima para las fábricas

Question

Una empresa produce dos modelos diferentes de máquinas pesadas, digamos (A) y (B). La demanda del mercado implica que el prot nal de cada modelo es de 1200 y 2500, respectivamente. La producción de cada coche (de ambos modelos) se organiza en tres fábricas diferentes (motor, (E), esqueleto (S), complementos (C)). La siguiente tabla explica los días necesarios para cada modelo en cada fábrica para producir los coches: (A,E)=2, (A,S)=1, (A,C)=1, (B,E)=4, (B,S)=4, (B,C)=7

Por razones de seguridad y por los acuerdos entre la empresa y los trabajadores, la fábrica de motores motor no está abierta más de 350 días al año, la fábrica de esqueletos no está abierta más de 280 días al año, mientras que la fábrica de complementos puede trabajar hasta 320 días al año. Encuentre el programa lineal para optimizar los prots, y resuélvalo. Escriba el problema dual. ¿Es posible determinar los precios sombra de las tres fábricas?

Answer 1

La siguiente es una solución peatonal destinada a los estudiantes de secundaria.

A plan de producción es un par $(a,b)$ de números no negativos que codifican la intención de producir $a$ unidades de producto $A$ y $b$ unidades de producto $B$ . Dado este plan de producción, el beneficio esperado $p$ en cientos de dólares es $$p=12a+25b\ .$$ Las condiciones indicadas en el texto equivalen a $$2a+4b\leq 350,\quad a+4b\leq 280,\quad a+7b\leq 320\ .$$ Cada una de estas condiciones, junto con $a\geq0$ , $\>b\geq0$ define un triángulo en el primer cuadrante de la $(a,b)$ -plano. Un plano es admisible si pertenece a los tres triángulos; véase la siguiente figura.

La figura muestra una línea $p={\rm const.}$ también. Todas estas líneas son paralelas, y las líneas desplazadas hacia el noreste corresponden a mayores beneficios. El desplazamiento de la línea roja hacia el cuadrilátero rojo de planes admisibles muestra que el plan óptimo se encuentra en el punto $P=(117,29)$ donde el $(E)$ - y el $(C)$ - se cruzan. Tuvimos la suerte de que $P$ tiene coordenadas enteras, porque si no nos encontraríamos con un "problema de programación entera", que es otra cosa.

Answer 2

Puedes empezar a definir las variables enteras $x_{ij}$ como la cantidad de componente $j \in \{E,S,C\}$ fabricado para el tipo de máquina $i \in \{A,B\}$ (o, análogamente, el número de máquinas $i$ fabricado en la fábrica $j$ . En lo que sigue, prefiero hablar de componentes, pero el razonamiento es el mismo).

Así, por ejemplo $x_{AE}$ es el número de motores producidos en la fábrica $E$ para el tipo $A$ máquinas. A continuación, puede escribir la restricción sobre los días de apertura:

$$ \sum_{i \in \{A,B\}} d_{ij}\cdot x_{ij} \leq O_j\;\;\;\;\forall j \in \{E,S,C\} $$

donde $d_{ij}$ es el tiempo necesario para fabricar una unidad de componente $j$ para un tipo de máquina $i$ y $O_j$ es el número de días de apertura de cada fábrica $j \in \{E,S,C\}$ (es decir $d_{AE} = 2, d_{AS} = 1$ etc.).

Para expresar la función objetivo, hay que evaluar el número de máquinas producidas. Suponiendo que cada máquina utiliza exactamente un motor, se puede escribir:

$$ \max \sum_{i \in \{A,B\}}\pi_i \cdot x_{iE} $$

donde $\pi_i$ es el beneficio de un tipo de máquina $i$ .

Finalmente se añaden las restricciones no negativas:

$$ x_{ij} \geq 0 \,\,\,\,\, integer$$

He asumido la integridad de las variables, dejo que se discuta si se puede relajar o no.