Cómo puedo demostrar que $T$ está bien definida y es continua, de modo que tenemos : $\|T\|\leq \|g\|_q,$ $T(f)=\int_\Omega f\overline{g}\,d\mu$ ?

Question

Ejercicio: dejar $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ sea un espacio medible, $p\in[1,+\infty[$ y que $g\in L^q(\Omega)$ con $q$ es el exponente conjugado de $p,$ dejar $T$ tal que $T:L^p(\Omega)\to\mathbb{C}$ definido por $T(f)=\int_\Omega f\overline{g}\,d\mu$ Quiero demostrar que $T$ está bien definida y es continua, de manera que tenemos : $\|T\|\leq \|g\|_q$ ?

Mi intento: He tratado de reformualte la desigualdad de Holder así :

\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}f\bar{g} \,d\mu & \leq & \left(\int_\Omega f^p \, d\mu\right)^{1/p} \left(\int_\Omega \bar{g}^q \, d\mu\right)^{1/q}\\ &\leq&\|f\|_p\|\bar{g}\|_q \end{eqnarray*} Ahora $\|f\|_p\|\bar{g}\|_q$ es finito implica que $T$ se define , para la continuidad he utilizado el hecho de que $T$ es medible implica que es continuo , Pero mi problema como puedo demostrar que $\|T\|\leq \|g\|_q$ He utilizado la suposición $1\leq p <q < \infty$ implica $\ell^p\subset \ell^q$ que prueban el resultado, pero no me importa esta manera?

Answer 1

Su pregunta no está relacionada con $\ell^{p}$ espacios (que son diferentes de $L^{p}$ espacios). No es necesario $p<q$ por esto.

Ya sabes (por la desigualdad de Holder) que $|Tf|\leq \|f\|_p \|g\|_q$ . [ Tenga en cuenta que $|\overline {g}|=|g|$ para que puedas dejar el conjugado].

Un mapa lineal $T$ de un espacio lineal normado $X$ a otro espacio lineal normado $Y$ es continua si está acotada en el sentido $\|Tx\| \leq C\|x\|$ para alguna constante finita $C$ . Por definición $\|T\|$ es la suma de todas las constantes de este tipo $C$ . Por lo tanto, tomando $C=\|g\|_q$ , $T$ está acotado en nuestro caso y $\|T\| \leq \|g\|_q$ .