¿Cómo puedo demostrar que el rango de una matriz es siempre mayor o igual que el rango de toda matriz cuadrada de la misma Quiero decir que es evidente para cualquiera que sepa algo sobre el rango de las matrices, pero ¿cómo puedo demostrarlo?
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Doug M
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Cualquier matriz puede transformarse en una matriz en forma triangular superior. El rango de una matriz en forma triangular superior tiene un rango igual al número de entradas no nulas en la diagonal principal.
Cualquier submatriz tiene como diagonal principal un subconjunto de la diagonal principal. Sería que no puede haber más entradas distintas de cero en la diagonal principal de la submatriz.
El rango de una matriz $A$ es la dimensión de su espacio de columnas, es decir, el mayor número de columnas linealmente independientes de $A$ .
Así que toma una submatriz $B$ de $A$ y tomar un número máximo de columnas linealmente independientes de $B$ Llamémosle entonces $c_1,c_2,\ldots,c_n$ . Ahora mira las columnas correspondientes de $d_1,\ldots,d_n$ de $A$ es decir, las entradas de $c_i$ son entradas de $d_i$ . Demostremos que $d_1,\ldots,d_n$ son linealmente independientes.
Supongamos que $\lambda_1 d_1+\cdots\lambda_n d_n=0$ . Mirando sólo las entradas del $d_i$ que corresponden a las entradas del $c_i$ vemos que $\lambda_1c_1+\cdots+\lambda_n c_n=0$ , por lo que la independencia lineal de $c_i$ implica $\lambda_i=0$ . Así, el $d_i$ son linealmente independientes.
Por lo tanto, el rango de $A$ es al menos $n$ que es el rango de $B$ .
