Sobre el límite superior inferior de un subconjunto de todas las topologías para un conjunto no vacío X

Question

¿Cómo puedo demostrar lo que se afirma? Que la topología generada usando el teorema D como en la imagen, es igual al límite superior inferior de una familia no vacía de topologías para un conjunto no vacío $X$ .

Definiciones: El límite superior inferior de una familia no vacía de topologías de $X$ es la topología que surge de la intersección de todas las topologías más fuertes que cada topología de la familia. Una topología T es más fuerte que R si R está contenida en T.

Intenté demostrar que un conjunto está cointenido en el otro demostrando que todo conjunto abierto de uno está en el otro, pero no pude, en especial por la unión de las topologías. ¿Alguien sabe cómo demostrarlo o tiene alguna pista? Muchas gracias.

Answer 1

Si quieres demostrarlo en detalle, sólo tienes que mostrar esa última afirmación:

la clase de todas las uniones de intersecciones finitas forma una topología

es decir, esta clase es cerrada bajo la formación de intersección finita y uniones arbitrarias.

¿No se deduce por construcción?
(Obsérvese que $\bigcup \varnothing = \varnothing$ y $\bigcap \varnothing = X$ .)

Answer 2

Supongamos que $T$ es una topología más fuerte que todas las topologías de la familia ${T_i}$ . Sea $T'$ sea la topología generada por la subbase abierta $\cup_i T_i$ . Es necesario demostrar que $T$ contiene $T'$ . Si esto es cierto, entonces...

Edición: se ha cambiado " $T$ es más fuerte que $T'$ " a " $T$ contiene $T'$ ". Esto debería ser más claro.