Representación de Gel'fand de un espacio de Banach no unitario: qué hay de malo en este argumento

Question

Mi argumento a continuación se ha extraído de las páginas 5-6 del libro de Davidson " $C^*$ álgebras por ejemplo".

Teorema: Los funcionales lineales multiplicativos sobre un álgebra de Banach abeliana unitaria son continuos de norma 1.

Prueba de ello: Sea $\varphi$ sea una función lineal multiplicativa sobre $\mathfrak A$ y $A \in \mathfrak A$ . Supongamos por contradicción que $\|A\| < \varphi(A)$ ; al considerar en su lugar $A'=A/\varphi(A)$ si es necesario, podemos asumir $\varphi(A)=1$ . Sea $B = \sum_{n \geq 1} A^n$ Entonces $A+AB=B$ y como resultado, $\varphi(B)=\varphi(A)+\varphi(A)\varphi(B)=1+\varphi(B)$ Lo cual no tiene sentido. Así que $\|\varphi\| \leq 1$ . Desde $\varphi(I)=1$ eso es una igualdad.

Si $\mathfrak A$ es no-unital, me parece que la primera parte de ese argumento todavía se aplica, por lo que $\|\varphi\| \leq 1$ . En cualquier caso $\mathfrak{A}$ es un subespacio de la bola unitaria en $\mathfrak{A}^*$ . Topologizamos el conjunto de funcionales lineales multiplicativos $\mathcal{M_{\mathfrak A}}$ como un subespacio del espacio dual $\mathfrak A^*$ .

Ahora, la convergencia débil* de las redes es sólo la convergencia puntual. Como resultado está claro que el límite débil-* de los funcionales lineales multiplicativos es un funcional lineal multiplicativo. (Como es habitual en matemáticas, la parte en la que digo "está claro" es donde creo que es más probable que haya un problema). Así que $\mathcal{M_{\mathfrak A}}$ es un subconjunto cerrado de la bola unitaria de $\mathfrak A^*$ ; Banach-Alaoglu dice que es compacto.

Por otro lado, sé que $\mathcal{M_{\mathfrak A}}$ es no compacto para $\mathfrak A$ no unitaria, sino sólo localmente compacta. Así que algo en el argumento anterior está mal. ¿Qué es?

Como se ha mencionado, creo que es el bit "claro". Dado que podemos extender el funcional 0 de forma única, y que cualquier otro funcional se extiende de forma única, me parece probable que haya una red de funcionales multiplicativos que converjan débilmente* al funcional 0. Me gustaría ver tal red. (En realidad está claro en el caso unital: como las funciones tienen norma 1, están acotadas lejos de la función 0, así que esto no puede ocurrir. En el caso no unital no están acotadas respecto al funcional 0, por lo que es casi seguro que este es el fallo de este argumento.

Answer 1

He aquí un ejemplo sencillo. Dejemos que $X$ sea un espacio LCH no compacto. Todo funcional lineal multiplicativo tiene la forma $\phi_x(f) := f(x)$ para $f \in C_0(X)$ pero si eliges una secuencia (o red) $x_n$ que se va a $\infty$ entonces $\phi_{x_n}(f) = f(x_n) \to 0$ por cada $f$ lo que significa $\phi_{x_n} \to 0$ en la topología débil*.

Answer 2

El espectro de Gelfand es un conjunto de caracteres no nulos. Para el álgebra no-unital no se puede demostrar que el límite de la red de caracteres sea de carácter no nulo, ese es el lugar donde falla tu argumento. De hecho, la compactación de Alexandrov del espectro del álgebra de Banach no subital es sólo una adición de caracteres cero.

Answer 3

Consideremos el álgebra de Banach $C_0(Z)$ y los funcionales de evaluación $l_n(f)=f(n)$ . Todas tienen norma 1 pero convergen a 0 en estrella débil.

El hecho de que esto no pueda ocurrir en el caso unital es porque todas las funcionales envían la identidad a 1, por lo tanto también debe hacerlo su límite, por lo que el límite no puede ser 0.