Existe infinitamente como un cuantificador numérico

Question

En cuanto a la notación, al principio sólo escribo $\exists^{!\infty}$ , más tarde cambié a $\exists^\infty$ ¿Cuál debería usar? $?$

Y estoy pensando qué significa esto realmente en la lógica de primer orden $\dots$

Mis intentos (primero formalizar como mínimo, como máximo, exacto)

$\text{Let n $ \ en el que se encuentra la base de datos de la empresa. $, then }\exists^{\ge n}x,p(x) \text{ if and only if :}$ $$\exists x_1\dots x_n \text{ s.t.}\underbrace{(p(x_1)\wedge\dots\wedge p(x_n))}_{\text{$ x_1\dots x_n $ satisfy $ p $}} \wedge\underbrace{(x_1\neq x_2\land\dots\land x_1\neq x_n)\wedge\dots\wedge(x_{n-1}\neq x_n)}_{\text{$ x_1\dots x_n $ are distinct}}$$ $$\Leftrightarrow\underset{i=1}{\overset{n}{\exists}} x_i,(\bigwedge_{i=1}^np(x_i))\wedge(\bigwedge_{i=1}^{n-1}(\bigwedge_{j=i+1}^nx_i\neq x_j))$$

$\exists^{\le n}x,p(x) \text{ if and only if :}$ $$\exists^{<n+1}x,p(x)$$ $$\Leftrightarrow\neg(\exists^{\ge n+1}x,p(x))$$ $$\Leftrightarrow \underset{i=1}{\overset{n+1}{\forall}}x_i,(\bigvee_{i=1}^{n+1}\neg p(x_i))\vee(\bigvee_{i=1}^n(\bigvee_{j=i+1}^{n+1}x_i=x_j))$$

$\exists^{!n}x,p(x) \text{ if and only if :}$ $$\exists^{\ge n}x,p(x)\wedge\exists^{\le n}x,p(x)$$ $$\Leftrightarrow\exists^{\ge n}x,p(x)\wedge\neg(\exists^{\ge n+1}x,p(x))$$ $$\Leftrightarrow \underset{i=1}{\overset{n}{\exists}}x_i\forall x_{n+1}(p(x_{n+1})\leftrightarrow(\bigvee_{i=1}^nx_i=x_{n+1}))\wedge\bigwedge_{i=1}^{n-1}(\bigwedge_{j=i+1}^nx_i\neq x_j)$$

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La idea es que primero definamos al menos $n$ entonces observamos que como máximo $n$ simplemente no es (al menos $n+1$ ), también se nota exactamente $n$ es sólo al menos $n$ y como máximo $n$ .

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Entonces, para expresar existe infinitamente podemos escribir

$\exists^{\infty}x,p(x)$ si y sólo si: $$\forall n\in\mathbb{N},\exists^{\ge n}x,p(x)$$

$$\Leftrightarrow \forall n\in\mathbb{N},\underset{i=1}{\overset{n}{\exists}} x_i,(\bigwedge_{i=1}^np(x_i))\wedge(\bigwedge_{i=1}^{n-1}(\bigwedge_{j=i+1}^nx_i\neq x_j))$$

Y tomando la negación, existe finitamente se puede expresar como

$\exists^{<\infty} x, p(x)$ si y sólo si:

$$\exists n\in\mathbb{N},s.t.\exists^{\le n-1},p(x)$$ $$\Leftrightarrow \exists n\in\mathbb{N},s.t.\underset{i=1}{\overset{n}{\forall}}x_i,(\bigvee_{i=1}^{n} \neg p(x_i))\vee(\bigvee_{i=1}^{n-1}(\bigvee_{j=i+1}^{n}x_i=x_j))$$

Es esto correcto, cualquier sugerencia sería apreciada.

Answer 1

La notación estándar en lógica sería $\exists^\infty$ .

El signo de exclamación ! se utiliza para indicar la singularidad, $\exists^{!n} x\,\phi(x)$ siendo "hay exactamente $n$ elementos distintos $x$ tal que $\phi(x)$ ". Por lo tanto, la lectura estándar de $\exists^{!\infty}x\,\phi(x)$ sería "hay exactamente infinitas $x$ tal que...", lo cual es incómodo, ya que no es muy exacto decir simplemente "infinitamente muchos", ya que hay muchas opciones aquí. Y si estás en un escenario donde el universo del discurso es contablemente infinito, por ejemplo, entonces la parte "exactamente" es superflua de todos modos.

Es cierto que $\exists^{\infty}x\,\phi(x)$ es lo mismo que $\forall n\,\exists^{\ge n}x\,\phi(x)$ . Esto es así independientemente de que te encuentres en una situación en la que se cumpla el axioma de la elección. Menciono esto porque el uso de la elección $\exists^{\infty}x\,\phi(x)$ equivale a $Q_{\aleph_0}x\,\phi(x)$ , donde $\aleph_0=|\mathbb N|$ y, para un cardenal $\kappa$ , $Q_\kappa x\,\phi(x)$ significa que hay al menos $\kappa$ valores distintos de $x$ tal que ... (El $Q_\kappa$ se denominan cuantificadores de cardinalidad en la literatura). Sin embargo, si la elección falla, un conjunto puede ser infinito sin contener un subconjunto contablemente infinito.

(Y para evitar confusiones, permítanme añadir la observación mencionada en los comentarios: Aunque cada $\exists^{\ge n}$ es definible de primer orden como se muestra en la pregunta, $\exists^\infty$ es un cuantificador genuinamente nuevo, lo que significa que no es definible de primer orden por una fórmula. De lo contrario, su negación ("sólo hay un número finito") también sería definible de primer orden, y un fácil argumento de compacidad nos da una contradicción: la teoría $$\{\lnot\exists^\infty x\,(x=x)\land\exists^{\ge n}x\,(x=x)\mid n\in\mathbb N\}$$ es inconsistente pero cualquier subconjunto finito es consistente).

Answer 2

Cuantas más palabras en lugar de símbolos, mejor para el lector. Sugiero

La propuesta $p(x)$ es (o no es) cierto para un número infinito de $x$ .

Answer 3

Creo que será más claro si se utiliza sólo la notación estándar. En lugar de decir "existen infinitas $x$ tal que $p(x)$ "se puede decir que "existe $A\subset \Bbb R $ con $|A|\geqslant \aleph _0$ tal que para todo $x\in A$ entonces $p(x)$ ".

Puedes cambiar $\Bbb R$ por cualquier conjunto apropiado en su contexto.

En las fórmulas algo como

$$ \exists A\forall x\big(|A|\geqslant \aleph _0\land (x\in A\implies p(x))\big) $$

EDIT: mi respuesta anterior trata de ajustarse al caso de que quieras usar la notación lógica estándar para representar lo que quieres, sin embargo como se dice en la respuesta de @EthanBolker las palabras son mejores que los símbolos.