Derivada del ángulo entre dos vectores ¡singularidad!

Question

He estado luchando con un problema de necesidad de conocer la derivada del ángulo entre dos vectores, los vectores posiblemente siendo paralelos en algunos puntos en el tiempo. Empecé con:

$$\bf A \dot \bf B = \|A\|\|B\|\cos\theta \Rightarrow \theta=\arccos \left( \frac{\bf A \dot \bf B}{\|A\|\|B\|} \right)$$

Digamos que $\bf A$ y $\bf B$ son vectores unitarios para simplificar:

$$ \theta=\arccos \left( \bf \hat A \dot \bf \hat B \right) $$

Para encontrar la derivada del ángulo $\theta$ :

$$ \dot \theta = \frac{-1}{\sqrt{1-\left(\bf \hat A \dot \bf \hat B\right)^2}} \left[\bf \dot{\hat A}\dot \bf \hat B+\bf {\hat A}\dot \bf \dot{\hat B}\right] $$

Pero, $\bf{\hat A} \dot \bf{\hat B}=$$ 1 $ when $ \bf \hat A \bf \bf \\bhat B $ and the denominator of the expression for $ \N - Punto \N - Tetas $ becomes $ 0 $. We hence get a division by $ 0 $. Now I have tried other ways - by projecting $ \bf{hat B} $ onto $ \bf{hat A} $ and taking $ \N - Arctan $, by projecting $ \bf{hat B} $ onto a plane and forming a right-angle triangle and again taking $ \N - Arctan $. Every method I tried leads to the same singularity when $ \bf \hat A \\\\\\\\\\\bh, \bf \bhat B$.

Pregunta ¿Qué método puedo utilizar para no obtener una singularidad para $\dot\theta$ cuando $\bf{\hat A}$ se convierte en paralelo a $\bf{\hat B}$ ? Gracias.

Answer 1

No puedes librarte de la singularidad. Tenga en cuenta que en ${\mathbb R}^d$ con $d\geq3$ el ángulo entre dos vectores ${\bf a}$ , ${\bf b}$ es no orientado , lo que implica que siempre tenemos $$\angle({\bf a},{\bf b})\in[0,\pi]\ .$$ Considere el siguiente ejemplo en ${\mathbb R}^3$ : $${\bf a}(t):=(1,0,0),\quad{\bf b}(t):=(\cos t,\sin t,0)\qquad(-1<t<1)\ .$$ Entonces $$\phi(t):=\angle\bigl({\bf a}(t),{\bf b}(t)\bigr)=|t|\ ,$$ y ésta no es diferenciable en $t=0$ .

Answer 2

Considere la función $F:\mathbb R^n \setminus\{0\} \to \mathbb S_{n-1}$ definido por $F(u) := u/\|u\|$ . Así que busca $\dot\theta(t)$ , donde $\theta(t):= \arccos(r(t))$ y $r(t): = a(t)\cdot b(t)$ , donde $a(t):= F(x(t))$ y $b(t) := F(y(t))$

Ahora, por la regla de la cadena, $\dot{r}(t) = a(t).\dot{b}(t) + \dot{a}(t)\cdot b(t)$ . Utilizando un hecho algebraico (ver lema más abajo) y la regla de la cadena de nuevo, obtenemos $$ \begin{split} \dot{a}(t) &= \nabla F(x(t))\cdot\dot{x}(t) = \frac{I_n-F(x(t))\otimes F(x(t))}{\|x(t)\|}F(y(t)),\\ \dot{b}(t) &= \nabla F(y(t))\cdot\dot{y}(t) = \frac{I_n-F(y(t))\otimes F(y(t))}{\|y(t)\|}F(x(t)), \end{split} $$ donde $\otimes$ denota el producto exterior de vectores (produce una matriz de rango 1) y $I$ es la matriz de identidad de tamaño $n$ . La combinación de todo ello debería dar la fórmula correcta para $\dot{r}(t)$ . Ahora usando la regla de la cadena una última vez para obtener $\dot{\theta} = -\dfrac{1}{\sqrt{1-r(t)^2}}\dot{r}(t)$ .

Lema. Si $u,v \in \mathbb R^n$ con $u \ne 0$ entonces $\nabla_u (F(u)\cdot v) = \dfrac{I_n-F(u)\otimes F(u)}{\|u\|}v$ .

Prueba. Regla de la cadena y cálculo matricial básico.