Reescribir las EDO con coordenadas polares

Question

He estado trabajando en un problema sobre las órbitas de los satélites pero he estado atascado resolviendo una parte durante un tiempo. Tengo el siguiente conjunto de ODEs. $(x(t),y(t))$ describen la trayectoria del satélite. \begin{equation} x^{\prime\prime}=-\frac{x}{r^{3}}, \;\; y^{\prime\prime}=-\frac{y}{r^{3}}, \end{equation} donde $r$ es la distancia del satélite al centro de la Tierra. \begin{equation} r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. \end{equation} Ahora usando coordenadas polares, $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ necesito reescribir las EDOs como \begin{equation} r^{\prime\prime}-r(\theta^{\prime})^{2}+\frac{1}{r^{2}}=0,\;\; (r^{2}\theta^{\prime})^{\prime}=0. \end{equation} Para empezar, he calculado $x^{\prime\prime}$ y $y^{\prime\prime}$ : \begin{equation} x^{\prime\prime}=r^{\prime\prime}\cos\theta-2r^{\prime}\theta^{\prime}\sin\theta-r\theta^{\prime\prime}\sin\theta-r(\theta^{\prime})^{2}\cos\theta \end{equation} \begin{equation} y^{\prime\prime}=r^{\prime\prime}\sin\theta+2r^{\prime}\theta^{\prime}\cos\theta+r\theta^{\prime\prime}\cos\theta-r(\theta^{\prime})^{2}\sin\theta \end{equation} Ahora bien, si vuelvo a introducir estos datos en nuestra EDO original y los simplifico, obtengo \begin{equation} r^{\prime\prime}-r(\theta^{\prime})^{2}-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}(2r^{\prime}\theta^{\prime}+r\theta^{\prime\prime})+\frac{1}{r^{2}}=0 \end{equation} \begin{equation} r^{\prime\prime}-r(\theta^{\prime})^{2}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}(2r^{\prime}\theta^{\prime}+r\theta^{\prime\prime})+\frac{1}{r^{2}}=0 \end{equation} Este es el punto en el que me quedo atascado, no consigo averiguar cómo eliminar los términos con $\sin$ y $\cos$ para determinar la primera ODE deseada. También he considerado que tal vez tengo que encontrar la segunda ODE primero, pero también no puedo averiguar cómo determinar que uno de este punto.

Edición: Gracias a la respuesta de Ninad Munshi entiendo cómo obtener la primera de las dos ecuaciones. Sin embargo no he podido determinar la segunda ecuación. He intentado utilizar la primera ecuación y también de los ODEs originales pero desafortunadamente no consigo encontrar nada cercano.

Answer 1

La suma salió mal, pero funciona bien si multiplicas ambos lados por una función trigonométrica antes de sumarlos. Por un lado

$$\begin{cases}x''\frac{x}{r} = -\frac{x^2}{r^4} \\ y''\frac{y}{r} = -\frac{y^2}{r^4}\end{cases} \implies x''\frac{x}{r}+y''\frac{y}{r} = -\frac{x^2+y^2}{r^4} = -\frac{1}{r^2}$$

Por otro lado

$$\begin{cases}x''\frac{x}{r} = r''\cos^2\theta-2r'\theta'\sin\theta\cos\theta-r\theta''\sin\theta\cos\theta -r(\theta')^2\cos^2\theta \\ y''\frac{y}{r} = r''\sin^2\theta+2r'\theta'\sin\theta\cos\theta+r\theta''\sin\theta\cos\theta -r(\theta')^2\sin^2\theta \end{cases} $$ $$\implies x''\frac{x}{r}+y''\frac{y}{r} = r''-r(\theta')^2$$

Ajústelos de igual manera y ya está.

Answer 2

Las dos últimas ecuaciones que obtuviste tienen muchos términos similares, juntándolos uno puede llevar las ecuaciones a la forma $$ A-BC=0\\ A+\frac{C}{B}=0 $$ donde $$ A=r''r(')^2+\frac1{r^2},~B=\tan\text{ and }~~C=2r''+r''. $$ De ello se desprende que $(B^2+1)C=0$ para que $C=0$ y por lo tanto también $A=0$ . Entonces también $$ 0=rC=2rr'\,'+r^2''=(r^2')'. $$

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Otra forma de hacerlo de forma compacta es establecer $z=x+iy=re^{i}$ para que entonces $z'=(r'+ir')e^{i}$ , $$ z''=(r''+2ir''+ir''-r'^2)e^{i}=-\frac{z}{|z|^3}=-\frac{e^{i}}{r^2}. $$ Ahora cancela $e^{i}$ y separar las partes real e imaginaria.

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Ver también otros posts sobre el tema de separar la segunda ley de Kepler de la ED para un campo de fuerza central, como

• Ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas para el campo radial
• Resolver $\frac{\mathrm d^2\mathbf{q}}{\mathrm dt^2} = -\frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|^3}$
• Cualquier fuerza central implica la conservación del momento angular
• Desarrollo de la primera ley de Kepler a partir del problema de los dos cuerpos