Es $\mathbb{C}[x,y] / (y^2-x^3)$ ¿un PID?

Question

En primer lugar, me gustaría mostrar $\mathbb{C}[x,y] / (y^2-x^3)$ es un dominio integral. Entonces tengo que averiguar si es o no un PID.

Para la primera parte, quiero mostrar $y^2-x^3 \: | \: fg \implies y^2-x^3 \: | \: f$ o $y^2-x^3 \: | \: g$ en $\mathbb{C}[x,y]$ . No pude superar esto.

Para la segunda parte, estaba pensando en mostrar quizás $(y^2-x^3)$ es máxima; entonces el cociente sería un campo y, por tanto, un PID. De nuevo, no he podido llegar más lejos.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Cualquier PID es un UFD, y cualquier UFD es integralmente cerrado. Pero $k[x,y]/(y^2-x^3)$ no es integralmente cerrado, ya que $t:=y/x$ satisface $t^2=x$ y $t^3=y$ .

Answer 2

El conjunto cero de $Y^2-X^3$ es una curva unidimensional con un cúspide en $(0,0)$ . De la imagen se desprende que los espacios tangentes en las raíces $(a,b) \neq (0,0)$ son unidimensionales mientras que el espacio tangente en $(0,0)$ es bidimensional. Traduciendo estas propiedades geométricas en propiedades algebraicas, significa que $\dim_\mathbb{C}(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2) = 1$ para $\mathfrak{m} = (X-a,Y-b)$ con $(a,b) \neq (0,0)$ y $\dim_\mathbb{C}(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2) = 2$ para $\mathfrak{m} = (X,Y)$ donde estos ideales $\mathfrak{m}$ se consideran ideales del anillo de coordenadas $R = \mathbb{C}[X,Y]/(Y^2-X^3)$ . Esto a su vez equivale a decir que todos los ideales maximales $\mathfrak{m}$ de $R$ pero $(X,Y)$ son principales en $R_\mathfrak{m}$ y $(X,Y)$ no lo es. En particular, $(X,Y)$ no puede ser principal en $R$ .

Por supuesto, no podemos argumentar mirando la imagen aquí, así que es tu turno de dar una prueba algebraica de que $\mathfrak{m} = (X,Y)$ no es principal, o, de forma equivalente, que $\dim_\mathbb{C}(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2) \geq 2$ .