Ecuación funcional con soluciones sqrt

Question

Dejemos que $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ de manera que para todos $x,y\in(0,\infty)$ tenemos

$$f\left(\frac {x} {f(y)}\right)=\frac {x} {f(x\sqrt y)}.$$

Función de búsqueda $f$ .

Answer 1

Dejemos que $P(x,y)$ sea la afirmación $f\left(\frac{x}{f(y)}\right)f(x\sqrt{y})=x$ lo que equivale a $f\left(\frac{x}{f(y)}\right)=\frac{x}{f(x\sqrt{y})}$ .

Entonces: $$ P(xf(1),1)\ :\ f(x)f(xf(1))=xf(1)\implies f(f(1))=1\ \text{ and }\ f(f(1)^2)=f(1)^2 \\ P(x,f(1))\ :\ f(x)f\left(x\sqrt{f(1)}\right)=x $$ Así obtenemos por un lado: $f(x)f\left(x\sqrt{f(1)}\right)f(xf(1))=xf(xf(1))$ pero por otro lado tenemos $f\left(x\sqrt{f(1)}\right)f(xf(1))=x\sqrt{f(1)}$ y por lo tanto $f(x)f\left(x\sqrt{f(1)}\right)f(xf(1))=f(x)x\sqrt{f(1)}$ . Al combinar estas dos ecuaciones, obtenemos: $$ xf(xf(1))=f(x)x\sqrt{f(1)}\implies f(xf(1))=f(x)\sqrt{f(1)} $$ Conectando $x=1$ en esta ecuación, obtenemos $f(1)^{\frac{3}{2}}=1$ y por lo tanto $f(1)=1$ . Finalmente obtenemos: $$ P(x,1)\ :\ f(x)^2=x\implies f(x)=\sqrt{x} $$ para todos $x$ en $(0;\infty)$ que sí es una solución.

Answer 2

$f(x) = \sqrt{x}$ satisface la propiedad.

Dejemos que $x,y \in (0,\infty)$ .

Entonces

$$f\left(\frac{x}{f(y)}\right) = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{y}}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{y}} = \frac{x}{\sqrt{x}\sqrt[4]{y}} = \frac{x}{\sqrt{x\sqrt{y}}} = \frac{x}{f(x\sqrt{y})}$$