Modo normal de un péndulo acoplado: por qué la constante $\psi_1$ , $\psi_2$

Question

Necesito resolver un problema que me diga que debo averiguar el movimiento de los dos péndulos que aparecen en los primeros 45 segundos de este video

Creo que este tipo de movimiento se describe mediante un sistema de ecuación diferencial de la forma

$$\ddot{x} + \omega^2x = \epsilon y$$ $$\ddot{y} + \omega^2 y = \epsilon x$$

donde todas las constantes como la masa del péndulo y demás faltan y $x$ describe el movimiento del primer péndulo y $y$ la moción del segundo.

Para resolver el problema hay que asumir $\epsilon$ muy pequeño y $\epsilon \lt \omega^2$ .

He intentado resolver este problema de forma analítica, pero era demasiado complicado, así que he intentado el enfoque físico siguiendo el ejemplo dado aquí bajo la sección oscilador acoplado.

Creo que lo he entendido casi todo excepto que al evaluar los modos normales añadimos la constante $\psi_1$ y $\psi_2$ y obtener las soluciones

$$\vec{\nu}_1 = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\cos(\omega_1 t + \psi_1)$$ $$\vec{\nu}_2 = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\cos(\omega_2 t + \psi_2)$$

Mi pregunta es: ¿por qué tenemos esas dos constantes $\psi_1, \psi_2$ ? Entiendo que sólo nos interesa la parte realmente valorada de la solución $Ae^{i\omega t}$ Pero no entiendo de dónde vienen estas constantes, ¿hay una explicación física o mejor matemática para esto?

Answer 1

La solución general de su ecuación diferencial de segundo orden no es $Ae^{i\omega t}$ . De hecho, una solución general es:

$$f_t=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}.$$

Si empiezas con una solución de este tipo para tu sistema, acabarás con 4 constantes integradoras.

Punto de vista físico:

Desde un punto de vista físico, se espera que cuatro contantes describan las condiciones iniciales:

• $\psi_1$ y $\psi_2$ son el ángulo del que parten los péndulos.

Por eso necesitas $\psi_1$ y $\psi_2$ como condiciones iniciales: se espera una evolución diferente si se cambia el ángulo inicial.