Probar $\int_{0}^{x}f+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}=xf(x)\qquad\text{for all $x\geq0$}$

Question

Supongamos que la función $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ es continua y estrictamente creciente y que $f:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ es diferenciable. Por otra parte, asumen $f(0)=0$. Considerar la fórmula $$\int_{0}^{x}f+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}=xf(x)\qquad\text{for all $x\geq0$}$$ prueba esta fórmula.

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Tentativa: Tener en cuenta que $g(x)=\int_{0}^{x}f+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}-xf(x)$ que es continuo en $\mathbb{R}$. Entonces distinguir $g(x)$, tenemos $g'(x)=f(x)+xf'(x)-f(x)-xf'(x)=0$. Así para todas las $x$, $$g(x)-g(0)=0\Longrightarrow\int_{0}^{x}f+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}-xf(x)=0$ $

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No estoy seguro de mi la igualdad válida no o no. Si no, alguien me puede dar una sugerencia para modificar la prueba. Gracias.

Answer 1

Creo que la prueba está bien. Aquí es una alternativa.

Si usted está dispuesto a interpretar la integral como el área, luego mire el diagrama de $y=f(x)$. Está anclada en $(0,0)$, y el aumento de la. $xf(x)$ es el área de un rectángulo con la esquina inferior izquierda en $(0,0)$.

Las dos integrales son el área bajo la curva y el área a la izquierda de la curva (integrando con respecto a $y$).

(OK, la imagen abusos "$x$" en la parte inferior de la integral. Tal vez la indexación de la variable debe ser "$t$" o algo distinto a "$x$".)

Answer 2

Por el % de transformación $u=f^{-1}(y)$,\begin{align*} \int_0^{f(x)} f^{-1}(y) dy &= \int_0^x uf'(u) du\\ &=uf(u)|_0^{x} - \int_0^xf(u) du \end{align*} % $ $$$en general, en sentido integral de Riemann-Stiltjes sin la asunción del differentiability,\begin{align*} \int_0^x f(u)\,du + \int_0^x u\, df(u) = xf(x), \end{align*} señalando que\begin{align*} \sum_{i=1}^nf(x_{i-1})(x_i-x_{i-1}) + \sum_{i=1}^n x_i [f(x_i)-f(x_{i-1})] &= \sum_{i=1}^n\big[x_if(x_i) - x_{i-1}f(x_{i-1})\big]\\ &= xf(x), \end{align*} donde $0=x_0 < x_1 < \cdots < x_n = x$ es una partición del intervalo $[0,\, x]$.

La conclusión ahora sigue inmediatamente.